专题01 十种求外接球与内切球模型-【技巧解密】2023年新高考数学技巧硬核解密之立体几何(新高考适用)

令学科网 学科网原创，让学司更名品！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 专题01十种求外接球与内切球模型 【必备知识点】 模型一：墙角模型 墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法（构造长方体）解决外接球的直 径等于长方体的体对角线长 使用范围卧：3组或3条棱两两垂直：或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合 推导过程：长方体的体对角线就是外接球的直径 公式：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2=a2+b2+c2,即2R=√a2+b2+c2,求出R 例1，四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB,AC,AD两两垂直，且AB=√5，AC=2,AD=3, 则球0的表面积为() A.64x B.16x C.4x D.π 【答案】B 【详解】 四面体ABCD的外接球O即为以AB,AC,AD为长、宽、高的长方体的外接球， 球0的外接球半径R-分公+4C4D-2, :球0的表面积S=4πR2=16 故选：B 例2，在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别为线段AB,BC的中点，连接DE,DF,EF,将△ADE, △CDF,△BEF分别沿DE,DF,EF折起，使A,B,C三点重合，得到三棱锥ODEF,则该三棱锥外接球的 表面积为() 1 一原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利网 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 E A.3π B.√6π C.6π D.24π 【答案】C 【详解】 解：在正方形ABCD中，AD⊥AE,CD⊥CF,BE⊥BF, 折起后OD,OE,OF两两垂直， 故该三棱锥外接球即以OD,OE,OF为棱的长方体外接球 因为OD=2,OE=1,OF=1, 所以2R=OD+OE°+0F=6,所以R=6 所以该三棱锥外接球的表面积为S:=4πR2=6π， 2 故选：C 例3.已知P,A,B,C为球O的球面上的四个点，若PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=1,AC=BC=√2 ,则球O的表面积为() A.2π B.3π C.4x D.5n 【答案】D 【详解】 解：在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,AC⊥BC,故可将三棱锥P-ABC补形成如图所示的长方体 若P,A,B,C为球O的球面上的四个点，则该长方体的各顶点亦在球O的球面上设球O的半经为R, 则该长方体的体对角线长为2R,即2R=√PA+AC2+BC2=√5， 从而有So=4πR2=π(2R7=5江， 故选：D. 例4.如图，在矩形ABCD中，AB=√2，BC=2,E为BC中点，把△ABE和△CDE分别沿AE,DE折起， 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 学利网 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 使点B与点C重合于点P,若三棱锥P-ADE的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为() A.3π B.4s C.5n D.9x 【答案】C 【详解】 依题意，PE⊥PA,PE⊥PD,PA∩PD=P,PA,PDC平面PAD,则PE⊥平面PAD, 又PA=PD=V2,AD=2,即有PA+PD2=AD2,则PA⊥PD, 因此可将三棱锥P-ADE补形成以PE,PA,PD为相邻三条棱的长方体， 若三棱锥P-ADE的四个顶点都在球O的球而上，则该长方体的各顶点亦在球O的球面上， 设球O的半径为R,则该长方体的体对角线长为2R,即2R=√PE+P2+PD?=√5， 所以球0的表面积为S=4πR2=π(2R)2=5π 故选：C 例5.在正三棱锥S-ABC中，点M是SC的中点，且AM⊥SB,底面边长AB=2V2,则正三棱锥 S-ABC的外接球的表面积为() A.6nt B.12π C.32元 D.36元 M B 【答案】B 【详解】 因为三棱锥S-ABC为正三棱锥，所以SB⊥AC,又AM⊥SB,ACO AM=A,AC,AMC平面S4C, 所以SB⊥平面SAC,所以SB⊥SA,SB⊥SC,同理SA⊥SC,即S4,SB,SC三线两两垂直，且 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 可学科网 学科网原创，让学司更名品！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 AB=2√2，所以SA=SB=SC=2,所以(2R)2=3×22=12,所以球的表面积S=4πR2=12π，故选B. 例6.将一个边长为4的正三角形ABC沿其中线BD折成一个直二面角，则所得三棱锥A-BCD的外接球的 体积为 【答案】20V5 元 3 【详解】 由题意得：AB=BC=4,AD=CD=2,BD⊥AD,CD⊥BD,即BD⊥平面ADC: D :二面角A-BD-C为直二面角，：AD⊥CD, 则三棱推A-BCD的外接球即为以BD,CD,AD为长宽高的长方