考前必做解答题系列3 立体几何-2026届高三数学三轮冲刺

立体几何解答题2 1（2026佛山一模）. 如图，三棱柱中，平面平面，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值. 2．（2026广州一模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，点是棱的中点． (1)求证： (2)若点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值． 3.（2026厦门一模）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，． (1)证明：平面PAC； (2)已知，点满足平面PEC． （i）求； （ii）求平面PBD与平面PEC夹角的余弦值． 4.（2026深圳二模） 如图，已知圆锥的底面直径，其中为底面圆心，母线，动点从点出发，在圆锥的侧面上绕轴一周后回到点，其轨迹为． （1）求长度的最小值； （2）若点在圆上，且（是所对的圆心角，），证明：存在非零向量，使得恒成立； （3）在（2）的条件下，可知是平面曲线，记所在平面为，求平面与夹角余弦值的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.（25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）如图，平行四边形 中， 中点为 ，现以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置. (1)若 中点为 ，证明：平面 ； (2)若 ，求 与平面 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法 【分析】（1）取中点，证明四边形是平行四边形，则由线面平行的判定定理可证； （2）根据给定条件，建立空间直角坐标系，再由线面角的向量求法求解. 【详解】（1）取中点，连接，因为分别为中点，所以，且， 又四边形是平行四边形，且为中点，所以，且， 所以，且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）在中，， 所以，所以， 因为，所以. 在中，， 所以，即，解得. 因为，所以，又，平面， 所以平面ABCD. 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的法向量为，则，即，令，则， 所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值是. 2．（2025·四川乐山·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，且，，． (1)证明：； (2)若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【难度】0.65 【知识点】线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）通过面面垂直的性质推出线面垂直，进而得到线线垂直； （2）由题意得建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，即可求出余弦值. 【详解】（1）取中点，连接，，， 侧面底面，且侧面底面，平面， 底面，又平面，， 在矩形中，，，，，且夹角均为直角，，， 又平面，且，平面， 又平面，. （2）三棱锥的体积为，， 由题意得以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， 则，， 设平面的法向量为，则， 令，则，故平面的法向量为， 又由图可知，平面的法向量为， ， 平面与平面的夹角的余弦值为 3.（2026·湖北宜昌·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面．    (1)求证：平面； (2)若，，四棱锥的体积为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、点到平面距离的向量求法、锥体体积的有关计算、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）根据条件，利用线面垂直的判定定理得平面，从而得，再由面面垂直的性质得平面，进而可得，即可求解； （2）根据条件，由棱锥的体积公式得，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及，再由点面距的向量法，即可求解. 【详解】（1）因为底面为正方形，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以， 连接，易知， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面，又平面，则， 又因为，平面，所以平面． （2）由题意，则正方形的面积为， 又，得到， 由（1）知平面，又平面，则， 以点为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，由，所以， 则， 所以，，． 设平面的法向量为，则，即， 令，得，所以， 则点到平面的距离为．    4.（2026·辽宁大连·一模）如图，已知四棱锥的底面为正方形，底面，设平面与平面的交线为直线.    (1)证明：； (2)，点在直线上. （i）若，且点均在球的球面上，证明：点在球的球面上； （ii）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析；（ii）或 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、线面角的向量求法、证明线面平行、线面平行的性质 【分析】（1）先应用线面平行判定定理再结合性质定理证明； （2）（i）建立空间直角坐标系，根据，得，设球的球心，根据得球心，半径为，验证即可； （ii）设，平面的法向量为，利用线面角的向量法求解. 【详解】（1）在正方形中，， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以； （2）以点为原点，为轴， 如图建立空间直角坐标系，    则，，，，， （i）因为点在直线上， 设，因为，则，即， 设点所在球的球心， 则， 即， 解得，即球心，半径为， 又， 所以点在球的球面上； （ii）设，且， 设平面的法向量为，则， 可取，记直线与平面所成的角为， 则， 解得或， 所以的长为或. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 立体几何解答题2 1（2026佛山一模）. 如图，三棱柱中，平面平面，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接与交于点，连接，证明，根据线面平行的判定定理即可证明； （2）根据平面平面和得到平面，从而得到平面，再利用面面垂直的判定定理即可证明； （3）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，利用向量法即可求解. 【小问1详解】 连接与交于点，连接， 三棱柱侧面为平行四边形，所以为的中点， 又为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为，所以， 又因为，， 所以， 所以，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【小问3详解】 由，，得， 故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 则， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 2．（2026广州一模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，点是棱的中点． (1)求证：； (2)若点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、点到平面距离的向量求法、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）取的中点，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得； （2）取的中点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，求得向量和平面的法向量，利用向量的距离公式，列出方程，求得，再由的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为点是棱的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以， 因为，所以， 由底面为菱形，且，可得为等边三角形， 因为是的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）取的中点，连接，因为是的中点，可得， 因为，所以， 又因为平面，且平面，所以， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示， 设，可得， 所以， 设平面的法向量为，可得， 令，可得，所以， 因为点到平面的距离为，可得， 则，解得，所以，所以，且. 又因为平面与轴所在直线垂直，所以平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为，可得， 所以平面与平面夹角的余弦值. 3.（2026厦门一模）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，． (1)证明：平面PAC； (2)已知，点满足平面PEC． （i）求； （ii）求平面PBD与平面PEC夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2)； 【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】（1）设AC，BD交于点，通过证明即可证明平面PAC； （2）（i）取PC中点，通过证明及可得OFEB是平行四边形，即可求得； （ii）以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面PBD、PEC的法向量，通过法向量求解余弦值即可． 【详解】（1）因为ABCD为菱形，所以，设AC，BD交于点，则， 又因为，所以，因为，AC，平面PAC，所以平面PAC． （2）（i）取PC中点，则且，由知， 所以，即四点共面， 因为平面PEC，平面OBEF，平面平面，所以， 因此OFEB是平行四边形，故，即． （ii）由（1）可知，平面PAC，因为平面ABCD，所以平面平面PAC， 因为平面平面，所以在平面PAC内作Oz垂直于AC，如图， 以为原点，建立空间直角坐标系， 由题意可知，，，， 因为，且，所以，， 因此，，， ，， 由此可知，设平面PBD的一个法向量， 则，也即， 令，得，设平面PEC的一个法向量， 则，也即， 令，得，所以， 所以平面PBD与平面PEC夹角的余弦值为． 4.（2026深圳二模） 如图，已知圆锥的底面直径，其中为底面圆心，母线，动点从点出发，在圆锥的侧面上绕轴一周后回到点，其轨迹为． （1）求长度的最小值； （2）若点在圆上，且（是所对的圆心角，），证明：存在非零向量，使得恒成立； （3）在（2）的条件下，可知是平面曲线，记所在平面为，求平面与夹角余弦值的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）将圆锥侧面展开为平面扇形，利用 “两点之间线段最短” 确定最短路径为展开图中连接两点的线段，再结合扇形弧长公式求出圆心角，最后用余弦定理计算线段长度即最短路径长； （2）建立空间直角坐标系，利用参数表示底面圆周上点的坐标，通过向量共线表示出轨迹上点的坐标，再通过向量数量积验证轨迹在某一平面内并求出该平面的法向量； （3）解法 1：求出平面的法向量，利用两平面法向量夹角公式计算夹角余弦值，再通过三角函数值域求出余弦值的取值范围；解法 2：结合几何分析，通过几何关系求出夹角余弦值的最值，进而得到取值范围. 【小问1详解】 如图， 沿圆锥的母线，将圆锥的侧面展开，得侧面展开图扇形， 其中为的中点，与在圆锥中是同一点． 因为轨迹在圆锥的侧面上， 所以，在侧面展开图中，轨迹是扇形上连接与两点的曲线． 又是最短路径，而平面上连接两点之中，线段最短， 所以，轨迹是侧面展开图扇形上连接与两点的线段，即线段． 由于，所以的长度为，又，所以 ． 所以，在等腰三角形中，，即的长度为． 【小问2详解】 如图，在底面圆中，过点作交圆于点， 由于平面，平面，故，， 则，两两垂直， 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， 于是，设， 则， 于是，则， 于是， 于是令，则； 【小问3详解】 解法1：由（2）可知，是平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 由于， 则，即 令， 于是平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为， 于是， 即平面与平面所成角的余弦值的取值范围为； 解法2 ： 由（2）可知，平面的法向量， 由于在底面圆周上运动， 则平面即平面的法向量可以是底面上任意方向的向量， 如图，在平面内，设 ，过点作，则， 设平面与平面所成的角为，则， 易知，则， 综上，， 即平面与平面所成角的余弦值的取值范围为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $立体几何解答题 1.(25-26高三上重庆沙坪坝月考)如图，平行四边形ABCD中，AB=2,AD=V2,∠BAD=元，AB中点 4 为M,现以DM为折痕把△ADM折起，使点A到达点A的位置. (I)若AC中点为N,证明：BN1/平面ADM; (②若∠44D-号，求AC与平面4DB所成角的正弦值 N B 2.(2025·四川乐山模拟预测)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAB⊥底面ABCD,且 PA=PB,AB=√2，BC=1. (1)证明：PC⊥BD; ②若三棱锥P-ABD的体积为5，求平面PHB与平面PCD的夹角的余弦值。 6 1/2 3.(2026湖北宜昌·模拟预测)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，AB⊥PB,平面PAC⊥平 面ABCD, (1)求证：PC⊥平面ABCD; (②若AB=1,正=2严，四棱锥P-ABCD的体积为字求点P到平面8CE的距腐， 1 E B 4.(2026辽宁大连·一模)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD,设平面PAD与平面 PBC的交线为直线I (1)证明：l∥BC: (2)PD=AD=1,点Q在直线1上 ()若QB=√2，且点P,A,B,C,D均在球O的球面上，证明：点Q在球O的球面上； ()若直线PB与平面QCD所成角的正弦值为5，求PO的长 2/2