专题07 立体几何动点问题专练-【技巧解密】2023年新高考数学技巧硬核解密之立体几何(新高考适用)

专题07 立体几何动点问题专练 一、单选题 1．已知正方体的棱长为2，、是线段上的动点且，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】先证明平面，再利用锥体体积公式计算体积得到答案. 【详解】如图所示：连接与交于点，平面，平面， 故，又，， 在平面内， 故平面. .故选：C 2．如图所示，长方体中，，P是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合长方体的结构特征及异面直线的意义，逐项判断作答. 【详解】在长方体中， ，当是与的交点时，平面，与相交，A不是； 当点与重合时，平面，与相交，B不是； 当点与重合时，因为长方体的对角面是矩形，此时，C不是； 因为平面，平面，而平面，因此与是异面直线，D是. 故选：D 3．如图，在正方体中，为线段上的动点，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为平面，所以直线与平面所成角为，其正弦值为，然后根据的范围即可求出答案. 【详解】 连接， 因为平面，所以直线与平面所成角为，其正弦值为， ， 当时，， 所以，则， 所以直线与平面所成角正弦值的取值范围是. 故选：A. 4．如图，在圆柱中，为底面直径，是的中点，是母线的中点，是上底面上的动点，若，，且，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，由圆柱的结构特征和线面垂直的判定可知平面，则点轨迹是平面与上底面的交线，结合勾股定理可求得长，即为所求轨迹长度. 【详解】连接，作，交于点， 是的中点，， 平面，平面，， ，平面， 平面，又平面， ，又，，平面， 平面， 设平面与上底面交于，，点的轨迹为； ，，是母线中点， ， ， . 故选：C. 5．在棱长为2的正方体中，分别取棱，的中点E，F，点G为EF上一个动点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将点到平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系求解. 【详解】如图所示，因为点E，F分别是，的中点，所以，又因为平面，平面， 所以平面，点到平面的距离即为点或到平面的距离. 设到平面的距离为， 建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， 设平面的法向量为，则有，得， 可求得平面的法向量为，， 所以. 故选：D. 6．如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列说法中错误的是（    ） A．异面直线EF与所成的角为 B．存在点E，F，使得 C．三棱锥B-AEF的体积为 D．点C到平面BEF的距离为 【答案】B 【分析】对A：根据异面直线的夹角分析运算；对B：根据空间中直线的位置关系分析判断；对C：根据锥体的体积公式运算求解；对D：利用等体积法求点到面的距离. 【详解】对A：连接，则，， 故为平行四边形，则， 且，即为等边三角形， 故异面直线EF与所成的角为，A正确； 对B：反证：若存在点E，F，使得，则四点共面， 故与为共面直线， 这与与为异面直线相矛盾，故假设不成立， 即不存在点E，F，使得，B错误； 对C：连接，设，则， ∵平面，平面， 故， ，平面，可得平面， 可知三棱锥B-AEF的高为， 故三棱锥B-AEF的体积为，C正确； 对D：设点到直线的距离为， 由，根据的面积可得， 解得， 设点C到平面BEF的距离为， 由选项C可知三棱锥B-CEF的高为， 根据，可得，解得， 故点C到平面BEF的距离为，D正确； 故选：B. 7．如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，下列四个结论中，正确的是（    ） A．平面 B．存在点，使平面 C．存在点，使 D． 【答案】D 【分析】当与重合时，平面，即可判断A；设正方体的棱长为1，以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，可得坐标，由可知与不垂直，即可判断B；若，则，列方程组求解可判断C；由可判断D. 【详解】当与重合时，又平面，则平面，故A错误； 设正方体的棱长为1，以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，又，∴， ，则，∴， ∵，，∴与不垂直，而平面，则与平面不垂直，故B错误； ，若，则，则，此方程无解，故不存在点，使，故C错误； ∵，，，∴，故D正确． 故选：D． 8．点分别是棱长为2的正方体中棱的中点，动点在正方形(包括边界)内运动.若面，则的长度范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，的中点F，连结，，，取EF中点O，连结，证明平面平面，从而得到P的轨迹是线段，从而得出长度范围. 【详解】取的中点，的中点F，连结，，，取EF中点O，连结，, ∵点M，N分别是棱长为2的正方体中