专题05 立体几何中的空间距离问题-【技巧解密】2023年新高考数学技巧硬核解密之立体几何(新高考适用)

专题05 立体几何中的空间距离问题 【必备知识点】 一、空间两点间的距离 设.直接用公式或求解. 二、点到直线的距离 设为直线上一点,为直线的方向向量,在向量方向上的 投影向量的模长为,则点到直线的距离. 三、两平行直线,之间的距离 两平行直线,之间的距离可以看成直线上一点到直线的距离, 则,其中是直线的方向向量. 四、异面直线,之间的距离 设,直线,的公共法向量为(公共法向量的求法 与平面的法向量求法相同),则异面直线,之间的距离为向量在方 向上投影向量的模长, 即,其中,. 五、点到平面的距离 设为平面的法向量,是平面的一条斜线,,则点 到平面的距离等价于向量在方向上投影向量的模长,即. 方法二：几何定义法 方法三：等体积法 六、直线到平面的距离、两平行平面的距离都可转化为点到平面的距离 直线到平面的距离可转化为直线上一点到平面的距离, 即直线到平面的距离. 与平面平行的平面到平面的距离等价于平面上一点到 平面的距离,即. 题型一：空间两点间的距离 1．在空间直角坐标系Oxyz中，点到点的距离为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据空间两点的距离坐标公式即可. 【详解】根据空间两点的距离坐标公式可得：. 故选：C 2．已知空间直角坐标系中，点关于平面对称点为，点关于轴对称点为，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】先求点的坐标，再根据空间中两点间距离公式运算求解. 【详解】由题意可得：点关于轴对称点为， 故. 故选：B. 3．已知点、分别为点在坐标平面和内的射影，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点、的坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得的值. 【详解】因为点、分别为点在坐标平面和内的射影，则、， 因此，. 故选：A. 题型二:点到直线的距离 4．已知点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离的向量法求解公式计算即可. 【详解】设， 可求得， 所以． 故选：B 5．已知直线l过点，且直线l的一个方向向量为，则坐标原点O到直线l的距离d为___________. 【答案】 【分析】根据空间中点到直线距离公式计算即可. 【详解】由题知，直线过点，且直线的方向向量为，点， 所以， 所以点到的距离为 故答案为：. 6．在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段上的中点，点M满足，则点M到直线AE的距离为________________． 【答案】 【分析】利用点到直线的距离与两条平行线间的距离、空间向量的坐标运算． 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，所以，则有， 又，即M在上， 所以点M到直线AE的距离即等于点F到直线AE的距离， 又因为，， 所以，， 所以点M到直线AE的距离为． 故答案为：． 题型三:异面直线,之间的距离 7．如图是一棱长为的正方体，则异面直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出与和垂直的向量坐标，求出异面直线间的距离. 【详解】以D为原点，DA，DC，分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系， 则，，设与和都垂直， 则，即，取，又因为， 所以异面直线和间的距离为. 故选：B. 8．长方体中，，，为的中点，则异面直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，得出各点坐标，求出与的公垂线的一个方向向量，由空间向量的数量积求得结论． 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， ，， 设与的公垂线的一个方向向量为， 则，取，得，，即， 又， 所以异面直线与之间的距离为． 故选：D． 9．正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为分别是异面直线和上的任意一点，则间距离的最小值为___________. 【答案】 【分析】利用空间向量法求出异面直线和的距离，即可得解. 【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则、，，， 所以，，， 设且，即，令，则，，所以， 所以异面直线和的距离， 所以、间距离的最小值为； 故答案为： 10．如图，多面体是由长方体一分为二得到的，，，，点D是中点，则异面直线与的距离是______． 【答案】# 【分析】建立空间直角坐标系，直接利用异面直线之间的距离公式求解即可. 【详解】以为坐标原点，分别以，,为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则,,,, ∴,, 设是，的公垂线方向上的单位向量， 则，即①， ，即②， 易知③， 联立解得，，或，，； 不妨取， 又∵, 则异面直线与的距离， 故答案为：. 四:点到平面的距离 方法一：向量法 11．如图，已知是侧棱长和底面边长均等于的直三棱柱，是侧棱的中点.则点