专题2.4 数列（结构不良型）-【挑战满分】2023年高考数学解答题专项训练（新高考地区专用）

专题2.4 数列（结构不良型） 1．等差、等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差、等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程． 2．给出与的递推关系，求an，常用思路是一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an． 3．求数列的前项和常见思路： (1)对于等差和等比数列，直接结合求和公式求解； (2)等差数列等比数列时，常采取分组求和法； (3)等差数列等比数列时，常采取错位相减法； (4)裂项相消法．用裂项相消法解题的关键步骤，①判断结构，即根据通项的结构，看它是否可以裂项，能裂项就写出通项裂项后的表达式；②写出和式，即按通项裂项后的表达式写出和式，看哪些项能相互抵消；③化简整理，即计算并整理和式，得到和式的最简结果． 1．（2023·山西·统考模拟预测）已知数列是正项等比数列，且，. (1)求的通项公式； (2)从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求数列的前项和. ①；②. 2．（2023·全国·模拟预测）记公差为1的等差数列的前项和为，______．从下面①②③三个条件中任选一个补充在上面问题中的横线处并作答． ①；②；③，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 3．（2023·陕西咸阳·校考一模）已知数列的前项之积为. (1)求数列的通项公式; (2)设公差不为0的等差数列中，，___________，求数列的前项和. 请从①； ②这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分. 4．（2023·辽宁·校联考模拟预测）在①，②这两个条件中选一个合适的补充在下面的横线上，使得问题可以解答，并写出完整的解答过程. 问题：在各项均为整数的等差数列中，，公差为，且______. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 5．（2023秋·甘肃天水·高二期末）已知等差数列的前n项和为，，条件①：；条件②：；条件③：，请从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，先写出选择条件再完成以下解答． (1)求数列的通项公式； (2)设等比数列满足，，求数列的前n项和． 6．（2023春·安徽·高二阶段练习）在①；②，，成等比数列；③.这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并进行解答. 已知各项均为正数的等差数列的首项，__________. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分. 7．（2023春·甘肃兰州·高二开学考试）在①，，是公差为－3的等差数列；②满足，且这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答. 已知各项均为正数的数列是等比数列，并且__________． (1)求数列的通项公式； (2)设，记为数列的前n项和，求证：． 8．（2023·全国·高二专题练习）在①,②,③这三个条件中选择两个,补充在下面问题中,并进行解答.已知等差数列的前项和为,______,______. (1)求数列的通项公式; (2)设,求数列的前项和. 注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分. 9．（2023·全国·高三专题练习）在①，②这两个条件中选择一个补充在下面的问题中，然后求解． 设等差数列的公差为，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，， ．（说明：只需选择一个条件填入求解，如果两个都选择并求解的，只按选择的第一种情形评分） (1)请写出你的选择，并求数列和的通项公式； (2)若数列满足，设的前n项和为，求证：． 10．（2023春·江苏泰州·高二阶段练习）记数列的前n项和为，已知， ． 请从①；②；③中选出一个条件，补充到上面的横线上，并解答下面的问题： (1)求数列的通项公式： (2)记数列的前n项和为，求证：． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 11．（2023秋·浙江宁波·高二期末）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 问题：已知等差数列为其前n项和，若______________． (1)求数列的通项公式； (2)设，求证：数列的前n项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 12．（2023秋·江苏苏州·高二期末）在①；②，且成等比数列；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题. 记等差数列的公差为，前项和为，已知__________. (1)求的通项公式； (2)令，求数列