专题05 解析几何-【大题一遍过】冲刺2023年新高考数学大题命题方向与技巧一遍过（新高考专用）

专题05 解析几何 【题型简介】 解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量大．令同学们畏惧．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点： （1）解析几何通性通法研究； （2）圆锥曲线中最值、定点、定值问题； （3）解析几何中的常见模型； 解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”．所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大核心考点展开． 【命题方向】 命题方向一、轨迹方程 命题方向二、向量搭桥进行翻译 命题方向三、弦长、面积背景的条件翻译 命题方向四、斜率背景条件的翻译 命题方向五、弦长、面积范围与最值问题 命题方向六、坐标、斜率、角度、向量数量积等范围与最值问题 命题方向七、定值问题 命题方向八、定点问题 命题方向九、三点共线问题 命题方向十、中点弦问题 命题方向十一、四点共圆问题 命题方向十二、切线问题 【典型例题】 命题方向一、轨迹方程 例1．（2023·江西上饶·统考一模）已知椭圆C：过点，且椭圆上任意一点到右焦点的距离的最大值为. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l与椭圆C交不同于点A的P、Q两点，以线段PQ为直径的圆经过A，过点A作线段PQ的垂线，垂足为H，求点H的轨迹方程. 【解析】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. （2）由题意知，直线的斜率不为0， 则不妨设直线的方程为， 联立消去得， ，化简整理得， 设，则， 因为以线段为直径的圆经过，所以, 得， 将代入上式， 得， 得， 解得或（舍去）．所以直线的方程为， 则直线恒过点 因为过点做的垂线，垂足为，所以在以为直径的圆周上， 所以点的轨迹方程为：除去点 求动点的轨迹方程有如下几种方法： （1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程； （2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程； （3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程； （4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程； （5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程． 变式提升 1．（2023·全国·模拟预测）仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，其体解题方法为将由仿射变换得：，，则椭圆变为，直线的斜率与原斜率的关系为，然后联立圆的方程与直线方程通过计算韦达定理算出圆与直线的关系．最后转换回椭圆即可．已知椭圆的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与相交于、两点且，过椭圆外一点作椭圆的两条切线、且，切点分别为、． (1)求证：点的轨迹方程为； (2)若原点到、的距离分别为、，延长表示距离、的两条直线，与椭圆交于、两点，试求：原点在边上的射影所形成的轨迹． 【解析】（1）证明：在椭圆中，因为，则，， 椭圆的方程为， 过右焦点且垂直于轴的直线与相交于、两点且， 则点在椭圆上，则，解得， 所以，椭圆的标准方程为， ①当直线、的斜率都存在时，设直线、的斜率分别为、， 作变换，，则椭圆方程变为， 记，，则，设点， ①当直线、的斜率都存在时， 设过点且与圆相切的直线的斜率为， 则切线的方程为，即， 由题意可得，整理可得， 由韦达定理可得，整理可得， 即，即； ②作放射变换前，若直线、与两坐标轴分别垂直，则点， 此时，点的坐标满足方程. 综上所述，点的轨迹方程为. （2）边上的垂足所形成的轨迹与所形成的轨迹的面积之差为， 则， 所以，， 所以，，下面来求的值： ①若、分别与两坐标轴重合，则； ②若、的斜率都存在，设直线的方程为， 则直线的方程为， 联立可得，， 所以，，同理可得， 所以，， 综上所述，，所以，， 所以，点的轨迹方程为. 1．（2023·广东梅州·统考一模）已知动圆经过定点，且与圆：内切. 求动圆圆心的轨迹的方程； 【解析】设动圆的半径为，由题意得圆的圆心为，半径； 所以，， 则. 所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆. 因此轨迹方程为. 1．（2021·全国·统考高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.求的方程； 【解析】因为， 所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支， 设轨迹的方程为，则，可得，， 所以，轨迹的方程为. 命题方向二、向量搭桥进行翻译 例2．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）已知一条长为的线段的端点分别在双曲线的两条渐近线上滑动，点是线段的中点． (1)求点的轨迹的方程． (2)直线过点且与交于、两点，交轴于点．设，，求证：为定值． 【解析】（1）由已知，双曲线的渐