命题考向预测卷05-【大题一遍过】冲刺2023年新高考数学大题命题方向与技巧一遍过（新高考专用）

预测卷05 17．已知在数列中，，，其中，且，实数. (1)当时，求数列的通项公式； (2)是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）当时，， 所以，，…，， 以上式子相加，得，（累加法） 所以，又，满足上式，（注意验证的情况） 故数列的通项公式为. （2）假设存在常数，使得数列为等比数列. 由及，得，， 因为是等比数列，所以，得，解得. 当时，，即， 所以，又，从而，即， 故是首项为3，公比为3的等比数列. 所以存在常数，使得数列为等比数列，且. 18．如图，在平面四边形ABCD中，，，，． (1)若，求； (2)记 与 的面积分别记为和，求的最大值． 【解析】（1）∵，∴， ，， ，， ∴   ； （2）设，，∴， ∴，∴，① ， 当且仅当，时取最大值 ； 综上， ， 的最大值是 . 19．如图，四棱锥的底面是正方形，点P，Q在侧棱上，E是侧棱的中点． (1)若，证明：BE∥平面； (2)若每条侧棱的长都是底面边长的倍，从下面两个条件中选一个，求二面角的大小． ①平面；②P为的中点． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（1）连接，设交点为O，连接，，， 在中，点E是的中点，点Q足线段的中点，所以． 又因为平面，且平面，所以平面， 在中，点O是线段的中点，点P是线段的中点，所以． 又因为平面，且平面，所以平面， 又因为，且，平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面； （2）若选①平面，连接， 因为为正方形，所以点O分别为与的中点， 由题意，，所以，同理， 又，所以平面． 故以O为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 设，则，，，， 所以，，，，，． 因为平面，所以平面的一个法向量为． 显然平面的一个法向量为． 设二面角的平面角为，所以，所以． 若选②P为的中点，连接，因为为正方形，所以点O分别为与的中点， 由题意，，所以．同理， 又，所以平面． 故以O为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 设，则，，，， 所以，，，，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，即，取，得， 显然平面的一个法向量为， 设二面角的平而角为，所以，所以． 20．某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，整理如下： 改造前：； 改造后：. (1)完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析判断技术改造前后的连续正常运行时间是否有差异？ 技术改造 设备连续正常运行天数 合计 超过 不超过 改造前 改造后 合计 (2)工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费和保障维护费两种，对生产设备设定维护周期为天（即从开工运行到第天，）进行维护，生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费，经测算，正常维护费为万元/次，保障维护费第一次为万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加万元.现制定生产设备一个生产周期（以天计）内的维护方案：，.以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值. （其中） 【解析】（1）列联表为： 技术改造 设备连续正常运行天数 合计 超过 不超过 改造前 改造后 合计 零假设：技术改造前后的连续正常运行时间无差异. ， 依据小概率值的独立性检验分析判断不成立， 即技术改造前后的连续正常运行时间有差异； （2）由题知，生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天， 一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为， 设一个生产周期内需保障维护的次数为，则， 一个生产周期内的正常维护费为万元，保障维护费为万元， 一个生产周期内需保障维护次时的生产维护费为万元， 设一个生产周期内的生产维护费为，则的所有可能取值为， 所以，的分布列为 一个生产周期内生产维护费的均值为万元. 21．过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同的直线，且相交于点，，相交于点，．以，为直径的圆，圆为圆心的公共弦所在的直线记为． (1)若，求； (2)若，求点到直线的距离的最小值． 【解析】（1）依题意，抛物线的焦点为，且其在抛物线内部，设直线的方程