命题考向预测卷03-【大题一遍过】冲刺2023年新高考数学大题命题方向与技巧一遍过（新高考专用）

预测卷03 17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求A； (2)若，，求的面积． 【解析】（1）因为 ， ， 所以由得． 因为，，，，所以①， 所以，，所以，即．② 联立①②得． （2）因为，所以，，，所以，即． ， 由正弦定理，可得， ， 所以的面积． 18．记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)令，记数列的前项和为，试求除以3的余数. 【解析】（1）由有，即， 又，故， 所以数列是以1为首项，为公差的等差数列， 所以，即， 故，两式相减得，即， 所以， 因此的通项公式为. （2）由（1）及，有，所以， 又， 因为均为正整数，所以存在正整数使得， 故， 所以除以3的余数为2. 19．设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为y cm，测得的一些数据如下表所示： 第x天 1 4 9 16 25 36 49 高度y cm 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图发现：y（cm）与x（天）之间近似满足关系式，其中a，b均为大于0的常数． (1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于x的经验回归方程； (2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的2个点，求这2个点中幼苗的高度大于的点的个数恰为1的概率． 附：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 【解析】（1）令，则，根据已知数据表得到如下表： x 1 4 9 16 25 36 49 1 2 3 4 5 6 7 y 0 4 7 9 11 12 13 ，， 通过上表计算可得：， 因为回归直线过点，所以， 故关于的回归方程； （2）7天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天，从散点图中任取2个点，即从这7天中任取2天，所有可能取到的结果为21种，这2个点中幼苗的高度大于的点的个数恰为1的概率： 20．如图1，在中，，，为的中点，为上一点，且.现将沿翻折到，如图2. (1)证明：. (2)已知二面角为，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）证明：翻折前，在中，，翻折后，有，， 又，、平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）因为二面角为，，， 所以，二面角的平面角为， 以点为坐标原点，、所在直线为、轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则、、、、. ，，，. 设，，其中， 设平面的法向量为， 由得， 取，可得， ，解得，合乎题意， 故当时，直线与平面所成角的正弦值为. 21．如图，已知椭圆的方程为，，，，点是椭圆上任一点，是以为直径的圆． (1)当的面积为时，求所在直线的方程； (2)当与直线相切时，求的方程； (3)求证：总与某个定圆相切． 【解析】（1）由已知，设点，则. 所以. 又的面积为，所以，即， 解得或 (不符合题意，舍去)， 所以或， 所以所在直线的方程为或. （2）因为直线的方程为，且由（1）知， 所以点到直线的距离为，化简得， 联立 解得或， 当时，所以的方程为； 当时，，所以的方程为. （3）证明：由（2）可知, 且的半径，所以， 所以与以原点为圆心，半径为的圆相内切，即总与某个定圆相切成立. 22．已知函数有两个极值点，． (1)若，求a的值； (2)若，求a的取值范围． 【解析】（1）依题意知，， 因为函数有两个极值点，， 所以，，， 则有有两个根，等价于有两个根， 令，则， 令，解得， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 所以时，取得最大值， 又趋向于无穷大时，趋向于0， 所以且. 若，即， 由，解得：或（舍去）， 所以若，a的值为：. （2）由（1）知，， ，， 整理可得，令， 所以，易得， 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，所以， 所以在上单调递减，所以，即， 所以，令， 则恒成立， 所以在上单调递增， 所以， 即，所以a的取值范围为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 预测卷03 17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求A； (2)若，，求的面积． 18．记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)令，记数列的前项和为，试求除以3的余数. 19．设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为y cm，测得的一些数据如下表所示： 第x天 1 4 9 16 25 36 49 高度y cm 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图发现：y（cm）与x（天）之间近似满足关系式，其中a，b均