命题考向预测卷02-【大题一遍过】冲刺2023年新高考数学大题命题方向与技巧一遍过（新高考专用）

预测卷02 17．在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若是线段上靠近的三等分点，，求的最大值． 【解析】（1）， ∴， ∴．又，． （2）方法1：由（1）得， ∵，则，∴， ∴，     ∴， 令，则，     令，则，     在锐角三角形中，∴，即，     （另， ∵，，解得，∴，，即） ∴，∴，当且仅当时取等号，     ∴，∴的最大值为．     方法2：在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， ∵，∴． ∵，∴，， ． ∵，，解得，∴， ∴，∴， ∴的最大值为． 18．已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)已知数列的前20项和. 【解析】（1）当时，可得， 当时，， ， 上述两式作差可得， 因为满足，所以的通项公式为. （2）， 所以， . 所以数列的前20项和为. 19．如图所示，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且，点在线段上，且，点是以为直径的圆上一动点． (1)当时，证明：平面平面； (2)当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值． 【解析】（1）由垂直于圆锥的底面，在圆锥的底面，则， 当，且BC=3CA，则， ，又平面， 平面，又平面， 平面平面； （2）由题知：，且轴截面为等腰直角三角形，，， 当三棱锥的体积最大时，△的面积最大，此时为弧的中点， 如图，以为坐标原点，过且垂直的直线为轴，，分别为轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，令，则， 设平面的法向量，则，令，则， 所以， 故二面角的正弦值为． 20．2022年12月18日，第二十二届男足世界杯决赛在梅西率领的阿根廷队与姆巴佩率领的法国队之间展开，法国队在上半场落后两球的情况下，下半场连进两球，2比2战平进入加时赛，加时赛两队各进一球（比分3∶3）再次战平，在随后的点球大战中，阿根廷队发挥出色，最终赢得了比赛的胜利，时隔36年再次成功夺得世界杯冠军，梅西如愿以偿，成功捧起大力神杯． (1)法国队与阿根廷队实力相当，在比赛前很难预测谁胜谁负．赛前有3人对比赛最终结果进行了预测，假设每人预测正确的概率均为，求预测正确的人数X的分布列和期望； (2)足球的传接配合非常重要，传接球训练也是平常训练的重要项目，梅西和其他4名队友在某次传接球的训练中，假设球从梅西脚下开始，等可能地随机传向另外4人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外4人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住，记第n次传球之前球在梅西脚下的概率为，求． 【解析】（1）因为，，X可能的取值为0，1，2，3， ，， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 P 故． （2）第n次传球之前球在梅西脚下的概率为，易得，， 则当时，第次传球之前球在梅西脚下的概率为，第次传球之前球不在梅西脚下的概率为， 故，即， 又因为， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以，． 21．已知椭圆的一个顶点为，焦距为2． (1)求椭圆E的方程； (2)过点的直线与椭圆E交于B，C两点，过点B，C分别作直线的垂线（点B，C在直线l的两侧）．垂足分别为M，N，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数t，使得，，总成等比数列？若存在，求出t的值．若不存在，请说明理由． 【解析】（1）根据已知可得， 所以， 所以椭圆E的方程为. （2）由已知得，的斜率存在，且在轴的同侧， 设直线的方程为，，不妨设， 则 由得 所以 因为， 所以 ， ， 要使，，总成等比数列，则应有解得， 所以存在，使得，，总成等比数列. 22．已知集合A和定义域为的函数，若对任意，，都有，则称是关于A的同变函数. (1)当与时，分别判断是否为关于A的同变函数，并说明理由； (2)若是关于的同变函数，且当时，，试求在上的表达式，并比较与的大小； (3)若n为正整数，且是关于的同变函数，求证：既是关于的同变函数，也是关于的同变函数. 【解析】（1）当时，对任意的，，， 由，可得，又，所以， 故是关于的同变函数； 当时，存在，，使得，即，所以不是关于的同变函数. （2）由是关于的同变函数，可知恒成立， 所以恒成立，故是以2为周期的周期函数. 当时，，由， 可知. （提示：也可通过分类讨论与累加法予以证明，下面的*式也同理可证） 对任意的，都存在，使得，故. 所以 令，则，可得， 所以（当且仅当，即时取等号）. 所以当时，； 当时，. （3）因为是关于的同变函数， 所以对任意的，，都有， 故，用代换x，可得， 所以，即， 又，故，且. 所以，故是以为周期的周期函数. 对任意的，，由， 可得，（*） 所以是关于的同变函数. 对任意的，存在非负整数m，使， 所以，对任意的， ，即， 所以是关于的同变函数. 故既是关于的同变函数，也是关于的同变函数.