专题06 函数与导数-【大题一遍过】冲刺2023年新高考数学大题命题方向与技巧一遍过（新高考专用）

专题06 函数与导数 【题型简介】 函数与导数是高中数学的重要考查内容，同时也是高等数学的基础，其试题的难度呈逐年上升趋势，通过对近十年的高考数学试题，分析并归纳出五大考点： (1)含参函数的单调性、极值与最值； (2)函数的零点问题； (3)不等式恒成立与存在性问题； (4)函数不等式的证明. (5)导数中含三角函数形式的问题 其中，对于函数不等式证明中极值点偏移、隐零点问题、含三角函数形式的问题探究和不等式的放缩应用这四类问题是目前高考函数与导数压轴题的热点. 【命题方向】 命题方向一、含参数函数单调性讨论 命题方向二、导数与数列不等式的综合问题 命题方向三、双变量问题 命题方向四、证明不等式 命题方向五、极最值问题 命题方向六、零点问题 命题方向七、不等式恒成立问题 【典型例题】 命题方向一、含参数函数单调性讨论 例1．（2023·河南郑州·统考一模）已知函数． (1)若，求c的取值范围； (2)设时，讨论函数的单调性． 【解析】（1）等价于． 设，则． 当时，，所以在区间内单调递增； 当时，，所以在区间内单调递减． 故，所以，即， 所以的取值范围是； （2）且 ， 因此， 设 ， 则有， 当时，，所以， 单调递减，因此有， 即，所以单调递减； 当时，，所以， 单调递增，因此有， 即 ，所以单调递减， 所以函数在区间和 上单调递减，没有递增区间. 1.导函数为含参一次型的函数单调性 导函数的形式为含参一次函数时，首先讨论一次项系数为0，导函数的符号易于判断，当一次项系数不为雩，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数图像判定导函数的符号，写出函数的单调区间. 2.导函数为含参二次型函数的单调性 当主导函数(决定导函数符号的函数)为二次函数时，确定原函数单调区间的问题转化为探究该二次函数在给定区间上根的判定问题.对于此二次函数根的判定有两种情况： (1)若该二次函数不容易因式分解，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域； (2)若该二次函数容易因式分解，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而判断原函数的单调性. 3.导函数为含参二阶求导型的函数单调性 当无法直接通过解不等式得到一阶导函数的符号时，可对“主导”函数再次求导，使解题思路清晰.“再构造、再求导”是破解函数综合问题的强大武器. 在此我们首先要清楚之间的联系是如何判断原函数单调性的. (1)二次求导目的：通过的符号，来判断的单调性； (2)通过赋特殊值找到的零点，来判断正负区间，进而得出单调性. 变式提升 1．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）已知函数．讨论函数的单调性； 【解析】由已知得函数的定义城为， ．当且仅当时，等号成立， 当时，恒有，所以在是增函数； 当时，方程有两个不等的正根，， 由，即，解得，或． 由，即，解得， 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增． 综上，当时，在是增函数； 当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增． 1．（2023·四川巴中·统考一模）设函数. 当时，设，求函数的单调区间； 【解析】当时，，则， 又，由，得或， ①当，即时，恒成立， 的减区间为，无增区间； ②当，即时，有或；有； 的减区间为，增区间为； ③当，即时，有或；有； 的减区间为，增区间为； 综上：当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为； 当时，的减区间为，增区间为. 1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数． 当时，讨论的单调性； 【解析】当时，，则， 当时，，当时，， 故的减区间为，增区间为. 命题方向二、导数与数列不等式的综合问题 例2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知函数． (1)当a=0时，求函数的最小值； (2)当的图像在点处的切线方程为y=1时，求a的值，并证明：当时，． 【解析】（1）当a=0时，． 定义域为， 令，则，故在上单调递增. 因，，则在上有唯一零点，即.则在上，，即，在单调递减. 在上，，即，在上单调递增. 故，又， 则.即函数的最小值为0； （2）由题，，，则a=1； 即，则 故在上单调递增，在上单调递递减，则. 则当时，，即. 取，其中 ，则. 则. 又注意到 .故. 在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法.可以达到减少运算量的目的. 变式提升 2．（2023·浙江·校联考三模）已知 (1)当时，求单调区间； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)设，，证明：． 【解析】（1）当时，，， ，，（当且仅当时取等号）， 恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）当时，恒成立，即，恒成立；