专题17 解答题压轴题新定义题型-备战2023中考数学重难点专题题位训练及押题预测

专题17 解答题压轴题新定义题型（原卷版） 模块一 2022中考真题集训 类型一 函数中的新定义问题 1．（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（，）是函数y＝x图象的“阶方点”；点（2，1）是函数y图象的“2阶方点”． （1）在①（﹣2，）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y图象的“1阶方点”的有 　 　（填序号）； （2）若y关于x的一次函数y＝ax﹣3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值； （3）若y关于x的二次函数y＝﹣（x﹣n）2﹣2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围． 2．（2022•湘西州）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）． （1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标． （2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值． （3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2022•兰州）在平面直角坐标系中，P（a，b）是第一象限内一点，给出如下定义：k1和k2两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k． （1）求点P（6，2）的“倾斜系数”k的值； （2）①若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，请写出a和b的数量关系，并说明理由； ②若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，且a+b＝3，求OP的长； （3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P（a，b）是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数”k，请直接写出a的取值范围． 4．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2． （1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标； （2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N． ①当MN＝6a时，求点P的坐标； ②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值． 5．（2022•赤峰）阅读下列材料 定义运算：min|a，b|，当a≥b时，min|a，b|＝b；当a＜b时，min|a，b|＝a． 例如：min|﹣1，3|＝﹣1；min|﹣1，﹣2|＝﹣2． 完成下列任务 （1）①min|（﹣3）0，2|＝　 　； ②min|，﹣4|＝　 　． （2）如图，已知反比例函数y1和一次函数y2＝﹣2x+b的图象交于A、B两点．当﹣2＜x＜0时，min|，﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2，求这两个函数的解析式． 6．（2022•泰州）定义：对于一次函数y1＝ax+b、y2＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc≠0）为函数y1、y2的“组合函数”． （1）若m＝3，n＝1，试判断函数y＝5x+2是否为函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，并说明理由； （2）设函数y1＝x﹣p﹣2与y2＝﹣x+3p的图象相交于点P． ①若m+n＞1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围； ②若p≠1，函数y1、y2的“组合函数”图象经过点P．是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 类型二 几何图形中的新定义问题 7．（2022•青岛）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、 例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积， 则S△ABCBC•AD，S△A'B'C′B′C′•A′D′， ∵AD＝A′D′ ∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'． 【性质应用】 （1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝