专题06 一线三角模型之全等到相似-2023年中考数学经典几何模型高分突破（全国通用）

专题06 一线三角模型之全等到相似 模型精讲 一线三角是中考数学中的经典模型，包括全等与相似两大类型： 两大模型共性：∠BAC=∠ADB=∠CEA=α,或∠BAC=a,∠ADB=∠CEA=β,α+β=180°。 当AB=AC时，可得全等模型； 当AB ≠ AC 时，可得相似模型。 一线三角之全等模型 全等之直角型： 已知△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，分别从点B、C向直线l作垂线，垂足分别为D、E． 图1-1 图1-2 图1-3 l l l （1）当点B，C位于直线l的同侧时（图1-1），易证： △ABD≌△ ACE，可得BD=AE,AD=CE, 所以，DE=BD+CE （2）当B,C位于直线两侧时，（图1-2，1-3）同理可证：△ABD≌△ ACE，可得BD=AE,AD=CE, 所以，DE=BD-CE或CE=CE-BD 全等之锐角型：图2-1 图2-2 图2-3 l l l （1） 当点B，C位于直线l的同侧时（图2-1）， 由：∠BAE=∠BAC+∠1=∠B+∠BDA,∠BDA=∠BAC=α 可得：∠1=∠B, 又∵∠BDA=∠AEC,AB=AC, 可证：△ABD≌△CAE， 可得BD=AE,AD=CE, 所以，DE=BD+CE （2）当B,C位于直线两侧时，（图2-2，2-3）同理可证：△ABD≌△ ACE，可得BD=AE,AD=CE, 所以，DE=BD-CE(图2-2)或DE=CE-BD(图2-3) 全等之钝角型：图3-1 图3-2 图3-3 l l l （1）当点B，C位于直线l的同侧时（图3-1），易证： △ABD≌△ ACE，可得BD=AE,AD=CE, 所以，DE=BD+CE （2）当B,C位于直线两侧时，（图3-2，3-3）同理可证：△ABD≌△ ACE，可得BD=AE,AD=CE, 所以，DE=BD-CE（图3-2）或DE=CE-BD（图3-3） 一线三角之相似模型 相似之直角型： 图4-2 图4-2 图4-3 l l l (1)如图：当点B，C位于直线l的同侧时（图4-1），易证： △ABD∽△ CAE，可得： (2) 当点B，C位于直线l的异侧时（图4-2，4-3），同理可证： △ABD∽△ CAE，可得： 相似之锐角（钝角）型：图5-1 图5-2 图5-3 图6-1 图6-2 l l l 图6-3 （1）如图5-1，6-1：当点B，C位于直线l的同侧时， ∵∠BAE=∠BAC+∠1=∠B+∠BDA,∠BDA=∠BAC=α 可得：∠1=∠B, 又∵∠BDA=∠AEC==α, ∴△ABD∽△CAE ∴ (2) 当点B，C位于直线l的异侧时（图5-2，5-3，图6-2，6-3）， ∠BAC=α,∠BDA=∠DEC=β,α+β=180°⇒DE=BD-CE 理由如下： ∵∠BAC+∠BDA=180° ∴∠1+∠2+∠BDA=180° 又∵∠1+∠B+∠BDA=180° ∴ ∠2=∠B, 又∠BDA=∠DEC ∴△ABD∽△ CAE， 实战训练 一．一线三角之全等 1．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝7cm，BE＝3cm，则DE的长是（　　） A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm 试题分析：根据同角的余角相等，得∠CAD＝∠BCE，再利用AAS证明△ACD≌△CBE，得CD＝BE＝3cm，CE＝AD＝7cm，从而得出答案． 答案详解：解：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠BEC＝∠CDA＝90°， ∴∠CAD+∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE， 在△ACD与△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴CD＝BE＝3cm，CE＝AD＝7cm， ∴DE＝CE﹣CD＝7﹣3＝4cm， 所以选：C． 2．已知正方形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示M为边OB上一点，且点M的坐标为（a，b）．将正方形OBCD绕原点O顺时针旋转，每秒旋转45°，则旋转2022秒后，点M的坐标为（　　） A．（b，a） B．（﹣a，b） C．（﹣b，a） D．（﹣a，﹣b） 试题分析：先确定此时点M对应的位置即点M所在的位置，如图，过点M，M′分别作ME⊥x轴于点E，MF⊥x轴于点F，证明△M′OF≌△OME，得到M′F＝OE＝a，OF＝ME＝b，由此求解即可． 答案详解：解：∵正方形OBCD绕原点O顺时针旋转，每秒旋转45°， ∴旋转8秒恰好旋转360°． ∵2022÷8＝252……6， ∴旋转2022秒，即点M旋转了252圈后，又旋转了6次． ∵6×45°＝270°， ∴此时点M对应的位置即点 M’所在的位置， 如图．过点M，M'分别作ME⊥