专题07 改斜归正，妙杀直角类压轴题-2023年中考数学经典几何模型高分突破（全国通用）

专题07 改斜归正，妙杀直角类压轴题 模型精讲 改斜归正是一线三角在函数类题中的特殊用法，是指当题目中出现直角三角形，旋转90°时，而直角边非横平竖直时，咱们可以过直角三角形的三顶点，分别作x，y轴的垂线，从而构造一线三直角。当两直角边相等时，可以得到一线三等角之全等模型，当两直角边不相等时，可以得到一线三直线之相似模型，然后利用点线式来解决问题。（点线式秒杀函数类压轴题，后面会有专题为大家详细讲解。） 具体作法如下： 改斜归正之全等模型 如图：1-1，在平面直角坐标系中，AB=AB, ∠BAC =90°。 咱们可以把它看作斜直角。解决这类题目，只需要: (1) 如图1-2或1-3，作万能垂线，实现改斜正。 (2) 由一线三直角全等模型，易证△ABD≌△ ACE，可得，BD=AE,AD=CE， (3) 然后表示出：A,B,C,D,E,坐标，利用BD=AE,AD=CE，即可轻松得出方程，妙杀大题。 图1-1 图1-2 图1-3 改斜归正之相似模型 如图：2-1，在平面直角坐标系中，AB ≠ AC(中考数学经典), ∠BAC =90°。咱们一样可以把它看作斜直角。解决这类题目： （1） 同样只需要如图2-2或2-3，作万能垂线，实现改斜正。 （2） 由一线三直角全等模型，易证△ABD∽△ CAE，可得： （3） 与全等方法类似，只需要表示出：A,B,C,D,E,坐标，利用，即可轻松得出方程，从而妙杀大题。 图2-1 图2-1 图2-3 实战训练 1．如图，已知二次函数yx2﹣4的图象与x轴交于A，B两点与y轴交于点C，⊙C的半径为，P为⊙C上一动点． （1）点B，C的坐标分别为B　（3，0）　，C　（0，﹣4）　； （2）当P点运动到（﹣1，﹣2）时，判断PB与⊙C的位置关系，并说出理由； （3）是否存在点P，使得△PBC是以BC为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （4）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值＝　　． 试题分析：（1）在抛物线解析式中令y＝0可求得B点坐标，令x＝0可求得C点坐标； （2）用勾股定理的逆定理即可求解； （3）当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，利用△CP2F∽△BP2E，即可求解； （4）如图3中，连接AP，根据OB＝OA，BE＝EP，推出OEAP，可知当AP最大时，OE的值最大． 答案详解：解：（1）在yx2﹣4中，令y＝0，则x＝±3，令x＝0，则y＝﹣4， ∴B（3，0），C（0，﹣4）； 所以答案是：（3，0），（0，﹣4）； （2）如图（2），当P点运动到（﹣1，﹣2）时，即处于点P1位置，此时，P（P1）B与⊙C相切； ∵P1（﹣1，﹣2）， 而点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣4）， ∴P1B2＝20，P1C2＝5，BC2＝25，故P1B2+P1C2＝BC2， ∴CP1⊥P1B， ∴P1B与⊙C相切； （3）存在点P，使得△PBC为直角三角形， 当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图（2）， 连接BC， ∵OB＝3．OC＝4， ∴BC＝5， ∵CP2⊥BP2，CP2， ∴BP2＝2， 过P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F， 则△CP2F∽△BP2E， ， 设OF＝P2E＝2x，FP2＝OE＝x， ∴BE＝3﹣x，CF＝2x﹣4， ∴2， ∴x，2x， ∴FP2，EP2， ∴P2（，）， 由（2）知，P1符合条件，即P1（﹣1，﹣2）； 综上所述：点P的坐标为：（﹣1，﹣2）或（，）； （4）如图（3），连接AP，∵OB＝OA，BE＝EP， ∴OEAP， ∴当AP最大时，OE的值最大， ∵当P在AC的延长线上时，AP的值最大，最大值＝5， ∴OE的最大值为 所以答案是：． 2．如图，抛物线y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B（3，0）． （1）求m的值和直线BC对应的函数表达式； （2）Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标； （3）P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，请直接写出点P的坐标． 试题分析：（1）运用待定系数法将点B（3，0）代入抛物线y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9），即可求得m的值，得出抛物线解析式可求得点C的坐标，再利用待定系数法即可求出直线BC的解析式； （2）如图1，在x轴上取点E（4，0），在x轴下方过点E作ED⊥x轴，使DE＝1，连接AD，CD，设CD交抛物线于点Q，可证明△ADE≌△CAO（SAS），进而证明∠CAD＝90°，得出∠ACD＝45°，即∠ACQ＝45°，运用待定系数法求得直线CD的解析式为yx﹣3，与抛物线解析式联立即可求得点Q的坐标； （3）设P（t，﹣t2+4t﹣3），过点P作PH∥y轴交BC于点H