专题04 立体几何-【大题一遍过】冲刺2023年新高考数学大题命题方向与技巧一遍过（新高考专用）

专题04立体几何 【题型简介】 立体几何解答题是高考数学必考内容，该考点命题相对稳定，难度中等，是考生必须突破的核心内容之一. 高考数学立体几何解答题，主要采用“论证与计算”相结合的方式，在命题上一般包含小问，会涉及到空间点、线、面位置关系的判定与探究，特别是平行与垂直关系的证明；空间角(包括异面直线夹角、直线与平面所成角和二面角)或空间距离(包括空间几何体的体积、表面积和点到平面的距离等)的计算.立体几何在解题能力方面的要求是：在数学思想上，一般涉及转化与化归思想、数形结合思想、函数与方程思想；在解题方法上，一般涉及几何法、向量法，往往是两种方式相结合进行处理. 【命题方向】 命题方向一、线线角、线面角、二面角、距离问题 命题方向二、翻折问题 命题方向三、存在性问题 命题方向四、开放性问题 命题方向五、立体几何创新定义 【典型例题】 命题方向一、线线角、线面角、二面角、距离问题 例1．（2023·天津和平·统考一模）在如图所示的几何体中，平面平面；是的中点. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 【解析】（1）因为，以为原点，分别以，所在直线为，轴，过点且与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，， 所以， 所以，即； （2）因为，设平面的法向量为， 则，令，可得，又， 设与平面所成角为，则， 直线与平面所成的角的正弦值为； （3）由题， ， 设平面的法向量， 由，令，则， 又平面的法向量， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 本类试题一般分两种设问方式，一种是直接求解空间角或空间距离；另外一种是已知空间角或者空间距离，求解相关几何量的大小..解决这类问题一般需要先根据题意建立合适的空间直角坐标系，然后通过数学抽象将几何问题转化为代数问题，找到关键量的坐标表示(需引入参数，但要求尽可能少的参数，一般可以用共线向量处理)，再用待定系数的方法进行直接运算，求解函数或方程，得出参数的具体值，最后还原到几何体中求解相应的几何量. 变式提升 1．（2023·全国·模拟预测）如图，在多面体中，为正三角形，平面，，，为的中点，为线段上的动点. (1)若，求点到平面的距离； (2)若平面，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【解析】（1）解法一：因为平面，平面，所以. 因为为正三角形，为的中点，所以， 又，平面，所以平面. 因为，所以，又，平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，为， 所以. 连接，因为，所以. 因为平面，，所以平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，因为平面，所以. 设点到平面的距离为，则， 因为， 所以，解得.所以点到平面的距离为. 解法二：在平面ABC内过A作，以为坐标原点，射线，，的方向分别为轴的正方向建立 如图所示的空间直角坐标系，由题易知，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 即，令，得， 所以点到平面的距离. （2）在平面ABC内过A作，以A为坐标原点，射线的方向分别为轴轴的正方向建立的空间直角坐标系， 则，，，，，设，则，，. 设平面的法向量为，则， 即，令，得. 因为平面，所以，所以，解得， 所以.取的中点，连接，则，， 因为平面，，为线段上的动点， 所以平面，又平面，所以， 又，平面， 所以平面，所以平面的一个法向量为， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为 . 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 1．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）如图，直三棱柱中，，D为上一点． (1)证明：当D为的中点时，平面平面； (2)若，异面直线AB和所成角的余弦值为时，求二面角 的余弦值． 【解析】（1）证明：如图，分别取，的中点E，F，连接DE，EF，， 易知,且∥, ∴是平行四边形，∴． 由，为的中点，可知， 而平面平面，且平面平面，平面， ∴平面． 又∵，∴ DE⊥平面， 而平面，∴平面平面． （2）方法1： 不妨设，，注意到，知或其补角为异面直线AB和所成角， 在△中，，， 易知，   解得， 即D为的中点， 如图，延长交AC的延长线于，连接，过C作于，连接， ∵平面,,,, ∴平面，∴, 又∵,   ∴平面 , ∴ ∴为二面角的平面角， 在△中，，，得， ∴， 即二面角的平面角的余弦值为． 方法2： 取C为原点，直线CA，CB，分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，，则，，，， ∴，． ∴，解得． 由已知可得平面的一个法向量为， 易知，，设平面的法向量为， 由 得， 可取，则． ∴二面角的平面角的余弦值为． 1．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体中，，E为AC的中点． (1)证明：平面平面ACD； (2)设，点F在B