专题02 数列-【大题一遍过】冲刺2023年新高考数学大题命题方向与技巧一遍过（新高考专用）

专题02 数列 【题型简介】 数列一般作为新高考全国卷第17题或第18题，数列作为高中数学学科的主干内容，又是历年来是高考重点考查内容之一，经常以其作为载体考查学生分析问题、构建数学模型、解决问题的能力.但是考查内容又比较侧重基本公式的应用和基础运算能力，所以掌握数列的常见题型及解题策略尤为重要.而作为数列解答题目的考查，命题立意相对稳定，难度上多为中档题目.若在学习过程中掌握了典型题型的解题方法，就可以在高考中顺利地解决数列问题.数列主要考查以下题型： (1)等差数列与等比数列的综合； (2)求解数列的通项和前项和； (3)数列的综合. 【命题方向】 命题方向一、证明等差等比数列 命题方向二、等差等比数列的交汇问题 命题方向三、数列的通项公式 命题方向四、数列求和 命题方向五、及型不等式的证明 命题方向六、及型不等式的证明 【典型例题】 命题方向一、证明等差等比数列 例1．（2023·云南昆明·统考一模）已知数列的前项和为，，且满足 (1)设，证明：是等比数列 (2)设，数列的前项和为，证明： 【解析】（1）由题设，，则， 所以，即，而， 故是首项与公比都为的等比数列. （2）由（1），即， 当时，， 显然满足上式， 所以，则， 则，又时， 所以且，故. 判断或证明数列是等差、等比数列常见的方法如下. (1)定义法：对于的任意正整数： ①若为一常数，则为等差数列； ②若为常数，则为等比数列. (2)通项公式法： ①若，则为等差数列； (2)若，则为等比数列. (3)中项公式法： ①若，则为等差数列； ②若，则为等比数列. (4)前项和法：若的前项和满足： ①，则为等差数列. ②，则为等比数列. 变式提升 1．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，，且，. (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【解析】（1）因为， 所以，即， 两边同时除以，得， 又， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）可知，，所以， 所以，当时，. 所以， 两式相减，得， 适合上式. 综上，. 1．（2023·安徽宿州·统考一模）在数列中，，且. (1)令，证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，求. 【解析】（1）因为， 所以，即， 又， 所以，又， 所以，数列为以1为首项，4为公差的等差数列， 所以. （2）因为， 所以，即 所以 . 1．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 【解析】（1）因为，即①， 当时，②， ①②得，， 即， 即，所以，且， 所以是以为公差的等差数列． （2）[方法一]：二次函数的性质 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，所以， 所以，当或时，． [方法二]：【最优解】邻项变号法 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，即有. 则当或时，． 【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式； 法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解． 命题方向二、等差等比数列的交汇问题 例2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)对所有正整数m，若ak＜2m＜ak＋1，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和. 【解析】（1）由，则，两式相减得：， 整理得：，即时，， 所以时， ， 又时，，得，也满足上式. 故. （2）由.所以， 又，所以前40项中有34项来自. 故 . 在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法.可以达到减少运算量的目的. 变式提升 2．（2023·河北石家庄·统考一模）已知等差数列的前n项和记为（），满足． (1)若数列为单调递减数列，求的取值范围； (2)若，在数列的第n项与第项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前n项，形成新数列，记数列的前n项和为，求． 【解析】（1）设等差数列的公差为，由于， 所以，解得， 所以， 若数列为单调递减数列，则对于恒成立， 所以在上恒成立， 则，所以，又数列为递增数列，所以，即， 故的取值范围为； （2）若，则， 根据题意数列为： 第一组为：1，； 第二组为：，，； 第三组为：，，，； …… 第组为：，，，，…，； 则前组一共有项，当时，项数为. 故相当于是前组的和再加上这五项，即： 设，则可看成是数列的前项和 所以. 2．（2023·吉林通化·