专题01 三角函数与解三角形-【大题一遍过】冲刺2023年新高考数学大题命题方向与技巧一遍过（新高考专用）

专题01 三角函数与解三角形 【题型简介】 三角函数与解三角形一般作为新高考全国卷第17题或第18题，主要考查三角函数的图象及其性质，利用正余弦定理解三角形及三角函数与解三角形的综合问题等，将实际问题转化为解三角形的问题，体现数学与实际问题的结合. 【命题方向】 命题方向一、三角函数的图象及其性质 命题方向二、正弦定理与余弦定理的综合应用 命题方向三、三角形中的取值范围或最值 命题方向四、几何图形问题 命题方向五、三角与向量的综合问题 【典型例题】 命题方向一、三角函数的图象及其性质 例1．已知函数在区间单调，其中为正整数，，且． (1)求图像的一条对称轴； (2)若，求． 【解析】（1）因为函数在区间单调， 所以函数的最小正周期， 又因为， 所以直线即为图象的一条对称轴； （2）由（1）知，故，由，得或3． 由为的一条对称轴，所以． 因为，所以或， 若，则，即， 不存在整数，使得或3； 若，则，即， 不存在整数，使得或3．当时，． 此时，由，得． 此类问题通常先通过三角恒等变换化简函数解析式为的形式，再结合正弦函数的性质研究其相关性质． （1）已知三角函数解析式求单调区间： ①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”； ②求形如或（其中ω>0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． （2）函数图象的平移变换解题策略： ①对函数，或的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为. ②注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移. 变式提升 1．（2023春·北京·高三北京二中校考开学考试）已知函数的一个零点为． (1)求A的值和函数的最小正周期； (2)当时，若恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）因为函数的一个零点为， 所以，解得， 所以， 所以函数的最小正周期 （2）因为，所以，所以， 所以， 因为恒成立，所以，则， 所以 1．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数（，）的部分图象如图所示. (1)求的解析式，并求的单调递增区间； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围. 【解析】（1）由图象可得的最小正周期，∴，又可知， 由，解得，， 又因为，得，∴. 由，，解得，， 所以函数的单调递增区间为. （2） . 由得，. ∵，∴， 作出的部分图像如下： 结合图像可知：，解得. 所以实数的取值范围为. 1．（2021·浙江·统考高考真题）设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的最大值. 【解析】（1）由辅助角公式得， 则， 所以该函数的最小正周期; （2）由题意， ， 由可得， 所以当即时，函数取最大值. 命题方向二、正弦定理与余弦定理的综合应用 例2．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 (1)求; (2)若,求外接圆的半径R． 【解析】（1）解:因为, 所以 , 所以,因为, 所以,所以,又, 所以; （2）因为, 所以在中,由正、余弦定理得: , 所以,故, 由正弦定理得, 所以外接圆半径为. 解三角形问题，是高考考查的重点，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向； 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化，注意齐次式结构，一般多根据正弦定理把边转化成角，，，或是； 第三步：出结果，写步骤． 变式提升 2．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中学校考阶段练习）在中，. (1)求； (2)再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上的高. 条件①：；条件②：；条件③：的面积为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【解析】（1）方法一：在中，因为， 所以由正弦定理可得. 因为，所以. 所以. 在中，， 所以，所以. 方法二：在中，因为， 由余弦定理 得， 整理得 所以，所以. （2）选条件②：由（1）知 因为在中，，所以 又，所以 所以 设边上高线的长为h，则 . 选条件③： 因为 所以， 由余弦定理得 所以. 设边上高线的长为h，则 2．（2023·全国·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求A； (2)若，，求的面积． 【解析】（1）因为 ， ， 所以由得． 因为，，，，所以①， 所以，，所以，即．② 联立①②得． （2）因为，所