重难突破02 勾股定理之折叠问题-2022-2023学年八年级数学下学期期中期末复习考点全归纳及过关测试（人教版）

重难突破02 勾股定理之折叠问题 一、【知识回顾】 【方程勾股知识清单】 如图：列方程： 解决折叠问题的方法技巧：利用折叠前后相等的关系，寻找相等的线段，再寻找直角三角形，列勾股定理，构建方程，解方程。（直角三角形三边特征：一边已知，另外两边由折叠性质可推导和差关系或倍数关系） 二、【考点类型】 考点1：三角形翻折问题 典例1：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，试求的长． 【答案】 【分析】由勾股定理求得，然后由翻折的性质求得，设，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵，， 勾股定理得：， 根据翻折的性质可得， ，， ∴，， 在中， ， ， 解得：（）， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用，熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键． 【变式1】．已知：三角形纸片中，，，，是边上一点．将三角形纸片折叠，使点B与点重合，折痕与、分别相交于E、F． (1)设，，试建立y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围； (2)当是直角三角形时，求出x的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据折叠的性质得，在中利用勾股定理得，整理后即可得到y关于x的函数关系式； （2）根据含30度的直角三角形三边的关系得，由折叠的性质得到，然后讨论：①当时，则，易得，则，即，把y代入得到关于x的方程，解方程求出满足条件的x的值；②当时，则，即有，即，解方程即可． 【详解】（1）解：∵三角形纸片折叠，使点B与点重合， ∴， ∴，， 在中，，即， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ①当时，则， ∴， ∴， ∴，即， ∴，解得， ∵， ∴； ②当时，则， ∴即，解得， 所以或时，是直角三角形． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系以及勾股定理． 【变式2】如图是三个全等的直角三角形纸片，且，按如图的三种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为． (1)若，求的值． (2)若，求①单个直角三角形纸片的面积是多少？②此时的值是多少？ 【答案】(1) (2)①36；② 【分析】（1）设DE=CE=x，则BE=4-x，依据S△ABE=AB×DE=BE×AC，即可得到x的值，进而得出S1的值． （2）①如图1，依据S△ABE=AB×DE=BE×AC，即可得到DE=x，进而得出S1=x2；如图2，依据S△ABN=AB×HN=AN×BC，即可得到EN=x，进而得出S2=x2，再根据S1+S2=13，即可得到x2=6，进而得出单个直角三角形纸片的面积． ②如图3，由折叠可得，AC=CF=3x，所以BF=BC-CF=4x-3x=x，则S3=S△CMF=S△ACM，所以S3=，即可求解． 【详解】（1）解：∵AC∶BC∶AB＝3∶4∶5，AC＝3， ∴BC＝4，AB＝5， 由折叠可得，DE＝CE，∠ADE＝∠C＝90°，AD＝AC＝3， 设DE＝CE＝x，则BE＝4﹣x， ∵S△ABE＝AB×DE＝BE×AC， ∴AB×DE＝BE×AC，即5x＝3（4﹣x）， 解得x＝， ∴S1＝BD×DE＝＝． （2）解：由AC：BC：AB=3：4：5，可设AC=3x，BC=4x，AB=5x， ①如图1，由折叠可得，AD=AC=3x，BD=5x-3x=2x，DE=CE，∠ADE=∠C=90°， ∵S△ABE=AB×DE=BE×AC， ∴AB×DE=BE×AC，即5x×DE=（4x-DE）×3x， 解得DE=x， ∴S1=BD×DE=×2x×x=x2； 如图2，由折叠可得，BC=BH=4x，HN=CN， ∴AH=x，AN=3x-HN， ∵S△ABN=AB×HN=AN×BC， ∴AB×HN=AN×BC，即5x×HN=（3x-HN）×4x， 解得HN=x， ∴S2=AH×HN=×x×x=x2， ∵S1+S2=13， ∴x2+x2=13， 解得x2=6， ∴S△ABC=×3x×4x=6x2=36． 答：单个直角三角形纸片的面积是36； ②如图3，由折叠可得，AC=CF=3x， ∴BF=BC-CF=4x-3x=x， ∴S3=S△CMF=S△ACM， ∴S3==， 答：此时S3的值为． 【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是利用面积法求得某些线段的长度． 【变式3】．如图1，在中，，，，点为边上一动点，将沿直线折叠，得到，请解决下列问题． (1)______；当点恰好落在斜边上时，______； (2)连接，当是以为底边的等