[中学联盟]山东省东营市河口区实验学校2015届九年级数学下册：第26章 二次函数 （知识点总结+测试题、无答案，旧人教版，2份）

一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数 的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是2． ⑵ 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式： 的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ． 向下 轴 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ． 2. 的性质：[来源:学科网ZXXK] 上加下减。 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ． 向下 轴 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ． 3. 的性质： 左加右减。 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上[来源:学科网ZXXK] X=h 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ． 向下 X=h 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ． 4. 的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ． 向下 X=h 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ． 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ； ⑵ 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴ 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成 （或 ）[来源:学#科#网Z#X#X#K][来源:学科网] ⑵ 沿轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成 （或 ） 四、二次函数 与 的比较 从解析式上看， 与 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 ，其中 ． 五、二次函数 图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 ， （若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点. 六、二次函数 的性质 1. 当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 ． 当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大；当 时， 有最小值 ． 2. 当 时，抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 ．当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小；当 时， 有最大值 ． 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式： （ ， ， 为常数， ）； 2. 顶点式： （ ， ， 为常数， ）； 3. 两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 二次函数 中， 作为二次项系数，显然 ． ⑴ 当 时，抛物线开口向上， 的值越大，开口越小，反之 的值越小，开口越大； ⑵ 当 时，抛物线开口向下， 的值越小，开口越小，反之 的值越大，开口越大． 总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向， 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数 在二次项系数 确定的前提下， 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在 的前提下， 当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴左侧； 当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴； 当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的右侧． ⑵ 在 的前提下，结论刚好与上述相反，即 当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴右侧； 当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴； 当 时， ，即抛物线对称