第20讲 取点技巧-2023年新高考数学导数压轴题专题突破（尖子生专用）

第20讲 取点技巧 【典型例题】 例1．已知函数，，，． （1）设，． ①求方程的根； ②若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值； （2）若，，函数有且只有1个零点，求的值． 【解析】解：函数，，，． （1）设，． ①方程；即：，在上单调，可得． ②不等式恒成立，即恒成立． 令，． 不等式化为：在时，恒成立．可得：△或 即：或， ，． 实数的最大值为：4． （2）， ， ，可得， 令，则是递增函数，而，，， 因此，时，， 因此时，，，则． ，时，，，则， 则在递减，，递增，因此的最小值为：． ①若，时，，，则， 因此，且时，，因此在，有零点， 则至少有两个零点，与条件矛盾． ②若，函数有且只有1个零点，的最小值为，可得， 由， 因此，因此，，即，，则． 可得． 例2．已知函数． 当时，求函数在处的切线方程； 函数是否存在零点？若存在，求出零点的个数；若不存在，请说明理由． 【解析】解：，，． 当时，．又，则在处的切线方程为． 函数的定义域为，，． 当时，，，所以， 即在区间上没有零点． 当时，， 令，只要讨论的零点即可． ，． 当时，，是减函数； 当时，，是增函数， 所以在区间上的最小值为． 当时，，所以是的唯一的零点； 当时，，所以没有零点； 当时，．所以有两个零点． 例3．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围． 【解析】解：（1）由，求导， ， 当时，， 在上单调递减， 当时，， 令，解得：， 当，解得：， 当，解得：， 时，单调递减，，单调递增； 综上可知：当时，在单调减函数， 当时，在是减函数，在，是增函数； （2）①若时，由（1）可知：最多有一个零点， 当时，， 当时，，， 当时，， 当，，且远远大于和， 当，， 函数有两个零点，的最小值小于0即可， 由在是减函数，在，是增函数， ， ，即， 设，则，， 求导，由（1）， ，解得：， 的取值范围． 方法二：（1）由，求导， ， 当时，， 在上单调递减， 当时，， 令，解得：， 当，解得：， 当，解得：， 时，单调递减，单调递增； 综上可知：当时，在单调减函数， 当时，在是减函数，在是增函数； （2）①若时，由（1）可知：最多有一个零点， ②当时，由（1）可知：当时，取得最小值，， 当，时，，故只有一个零点， 当时，由，即， 故没有零点， 当时，，， 由， 故在有一个零点， 假设存在正整数，满足，则， 由， 因此在有一个零点． 的取值范围． 例4．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围． 【解析】解：（1）求导， 因为，， 所以，当时，，所以在上单调递减， 当时，， 令，解得：，当，解得：，当，解得：， 所以时，单调递减，单调递增； 综上可知：当时，在减函数， 当时，在是减函数，在是增函数； （2）①若时，由（1）可知：最多有一个零点， ②当时，由（1）可知：当时，取得最小值，， 当，时，，故只有一个零点， 当时，由，即，故没有零点， 当时，，， 由， 故在有一个零点， 假设存在正整数，满足，则， 由，因此在有一个零点． 所以的取值范围． 例5．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围． 【解析】解：（1）， 若，当时，，递减， 时，，递增， 当时，令，解得：或， 若，，恒成立，在递增， 若，， 当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增， 若，， 当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增， 综上：若，在递减，在递增， 若，在递增， 若，在递增，在递减，在递增， 若，在递增，在递减，在递增； （2）当时，， 令，解得：，此时1个零点，不合题意， 当时，由（1）可知， 在递减，在递增， 有2个零点，必有，即， 而（1）， 故当时，个零点， 当时，， 取，则， 故当，时，个零点， 故当时，个零点，符合题意， 当时，在递增，不可能有2个零点，不合题意， 当时，在递增，在递减，在递增， ， ，故， 此时，至多1个零点，不合题意； 当时，在递增，在递减，在递增， ， 此时，最多有1个零点，不合题意， 综上，若有2个零点， 则的范围是，． 例6．已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围． 【解析】解：（1）的定义域为，且， 当时，，此时在上单调递增； 当时，由解得，由解得，此时在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）知，当时，在上单调递增，函数至多一个零点，不合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减，则， 当时，，函数至多有一个零点，不合题意； 当时，， 由于，且， 由零点存在性定理可知，在上存在唯一零点， 由于，且（由于， 由零点存在性定理可知，在上存在唯一零点； 综上，实数的取值范围为．