第18讲 证明不等式之其他技巧（分段分析法、主元法、估算法）-2023年新高考数学导数压轴题专题突破（尖子生专用）

学科四 李科网原创，让令司更多易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 第18讲证明不等式之其他技巧（分段分析法、主元法、估算法） 【典型例趣】 例1.设a>0且a≠l,函数f(x)=sinax-asinx. (1)若f(x)在区间(0,2π)有唯一极值点x,证明：f(x。)<mm{2aπ，(1-a)π： (2)若f(x)在区间(0,2π)没有零点，求a的取值范围. J解：()证明：fd)=acosax--acosx=-a(cosax-cos功=-2asm7十r因 2r, 若a>1,则f)在区间(0,2x)至少有x=2红 十，名=4玩两个变号零点，故0<a<1 a+1 令/)=0，得x2,文=2%英中m,1eZ,仅当m1时，s2红0.2 a+1 且在x的左右两侧，导函数的值由正变负， 放0<0<1时，f)在区间(0,2x)有唯一极值点无=2红 a+1 此时f(,)=sina成，-asi,将无=2红代入得： a+1 fx）=sm2am-sim2红=sim2a+asin(2x-2红)=0+a)sm2ar "a+1 a+1 a+1 a+11 a+1 @当名方事0<0,2证0-o 由不等式：x>0时，x>sinx()知： (l+a)sin 2a<+a)2r=2am. a+1 a+1 2当2a>1,p当←a←1时，《1一元2x， (1+a)sin 2ax =(l+a)sin(r-2az)=(1+a)sin 1-a) a+1 a+11 a+1 由不等式(9知：a+asim=a0r<0+a)-ar=1-ax, a+1 a+1 由①②知f(x。)<min{2ar,(1-a)r}. (2)①当a>1时，f合=sin(a5）-asn产=-asin2<0,f)=si 2 3ar)+a>0: 2 故f百f受<0 由零点存在性定理知：f)在区间巴，弧)上至少有1个零点， a 2 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 。学利网 李科网原，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 a<1时，元<g<2,牙<am<元，<2ax<2a, ②当1 f()=-asin>0.f(r)=sinar >0.f(2r)=sin 2an <0. 由零点存在性定理知，f(x)在区间（π，2π）至少有1个零点， ③当0<a 时，f(x)=acosax--acosx=a(cosax-cos), 令g(x)=cosax-cosx,则g'(x)=-asin ax+sinx, 在区间(0，π)上，cosax>cosx,f'(x)>0,f(x)递增， 在区间（π，2π）上，g'(x)<0,即g(x)递减，即f"(x)递减，f"(x)<f(2π)<0， 故f(x)在(0，x)上递增，在(x,2π)上递减， 又f(0)=0,f(2π)=sin2aπ0，即在（π，2π）上，f(x)>0, 故f(x)在区间(0,2π)上没有零点，满足题意， 综上，若f(x)在区间(0,2π)上没有零点， 则正数a的取值范围是(O, 例2.已知函数f(x)=(x-m)lmx(m0). (1)若函数f(x)存在极小值点，求m的取值范围； (2)证明：f(x+m)<e+cosx-1, 【解析】解：(1)函数的定义域为(0，+0) f(x)=*m+lx=1-m ①当m=0时，f()=0得x=1 当x∈(0，)时，f"(x)<0, 当xe(仁，+0)时，f'(x)>0, :x=上是函数f)的极小值点，满足题意 @当0时，令g国=/：g是+幸产， 令g'(x)=0,解得x=-m,当xe(0,-m)时，g'(x)<0当x∈(-m,+o)时，g'(x)>0 g(x)m=g(-m)=2+lm(-m),若g(-m)0,即m-e2时，f'(x)=g(x)0恒成立， ∴f(x)在(0，+o)上单调递增，无极值点，不满足趣意. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 金学利网 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 若g(-m)=2+(-m<0,即-e<m<0时，80-m)=1-m+-m>0 ∴g(-m)g1-m)<0, 又g(x)在(-m,+∞)上单调递增，∴g(x)在(-m,+)上恰有一个零点x,当x∈(-m,)时，f'(x)-g(x)<0, 当e∈(x,+oo)时，f"(x)=g(x)>0, “:是f(x)的极小值点，满足题意， 综上，-e2<m0 (2)当m0时，f(x+m)=xln(x+m)xlnx, 若xlnx<e+cosx-1成立，则f(x+m)<e+cosx-1必成立， ①若xe(0,1],则e+cosx-1>0,xr0, .xlnx<e+cosx-1成立， ·f(x+m)<e*+cosx-1成立 ②若x>1,令h(x)=e+cos