第19讲 零点问题之个数问题、范围问题、分段零点问题、隐零点问题-2023年新高考数学导数压轴题专题突破（尖子生专用）

学科网 李科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 第19讲零点问题之个数问题、范围问题、分段零点问题、隐零点问题 【典型例趣】 例1.己知函数f(x)=e-a(x+2). (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性： (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围. 【解析】解：由题意，f(x)的定义域为(-o,+o),且∫"(x)=e-a: (1)当a=1时，f'(x)=e-1,令f"(x)=0,解得x=0, .当xe(-o,0)时，f"(x)<0,f(x)单调递减， 当xe(0,+o)时，f"(x)>0,f(x)单调递增。 ∴f(x)在(-0,0)上单调递减，在(0，+0)上单调递增： (2)当a0时，f'(x)=e-a>0恒成立，f(x)在(-0，+o)上单调递增，不合题意： 当a>0时，令f"(x)=0,解得x=lma, 当xe(-o,lma)时，f"(x)<0,f(x)单谓递减， 当xe(ma,+o)时，∫'(x)>0,f(x)单谓递增。 ∴f(x)的极小值也是最小值为f(lna)=a-a(na+2)=-a(1+lma). 又当x→-0时，f(x)→+0，当x→+0时，f(x)→+0. 要使f(x)有两个零点，只要f(na)<0即可， 则1+ag>0,可得a> 综上，若f)有两个零点，则a的取值范围是已， 例2.已知函数f(x)=lnx+2-ar. (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性： (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围. 【解析】解：(1)当a=1时，f)=mx+2-x,x>0,f)=1-x 当x∈(0，)时，f'(x)>0,f(x)在(0，l)上单调递增： 当xeL,+o)时，f'(x)<0,f(x)在(L,+o)上单调递减. (2)f')=1-ax>0. 当a0时，∫(x)>0,f(x)单调递增，不合题意： 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 金学利网 李科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 当a>0时，x∈(0，与)，f"(x)>0,f(x)单调递增， xe,+切)，f)<0,f)单谓递减， 、f(x)mr=f(白)=1-lma, 令1-lma>0,得0<a<e, -0.停)=2g2 4e2 -)<0, aa 所以当ae(0,e)时，f(x)有两个零点， 例3.已知函数f=mr+m (1)当m=1时，求f(x)的最大值： (2)讨论关于x的方程f(x)=m-r的实根的个数. 【解析】解：q)m=1时，f)=匹+，则/=-2r+l, 令f"(x)>0,解得：0<x<e2,令f(x)<0,解得：r>ei, 故f(x)在(0，e2)递增，在(e2,+o)递减， 故=e)-号 （2)由f付=m-加x,行mr-m-》=0,r=1显然是该方程的根， x2+1 r≠1时，方程等价于m=C+lr x2-1 令=区+，x>0,x x2-1 则=己疗r-+宁 令p()=4x-r+京' 1 则ow=4-2x-2:-2-<0. x x>0时，p(x)单调递减， :0<x<1时，p(x)>p(1)=0,(x)<0,x)单调递减， x>1时，p(x)<p(1)=0,h(x)>0,hx)单调递增， 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利吗 李科网原，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 x→+0时，h(x)→+0，x→0时，h(x)→+0，x→1时，h(x)→1， 画出函数x)的图像，如图示： 结合图像得：m>1时，方程m=h(x)有2个实根， m1时，方程m=h(x)没有实根， 综上：m1时，方程f(x)=m-1mx仅有1个实根， m>1时，方程f(x)=m-lx有3个实根， 例4.已知函数fm)=hmr+(a>0) (1)当a=1时，求f(x)的单调区间： (2)如果P(x。,%)是曲线y=(x)上的任意一点，若以P(x,)为切点的切线的斜率k恒成立， 求实数a的最小值； ③)讨论关于x的方程f)=+2+0号的实根的个数情况！ 2x 【解析】解：(1)当a=1时，f)=m+,定义域为(0，+o),…(1分) 则--2分剂 令f'(x)>0,得x>1,由f"(x)<0,得0<x<1, 所以f(x)的单调递增区间为(L,+),单调递减区间为(0,1)，…(4分) (2)由题意，f)=1-4-x-a x x2 x21 以P(x,%)为切点的切线的斜率最满足k=化)=二 2 (cx>0), 2 所以a式2+5对无>0恒成立。…6分】 又当无>0时，宁+名子所以：的最小值为分…8分 (3)由题意，方程f=+2r+@-化简得 2x 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 金学利网 李科网原，让学司更客易！ JP