21.最值问题1（将军饮马）-2023年中考数学冲刺高频热点题型汇总（全国版）

21.最值问题1（将军饮马） 1．（2021秋·陕西西安·八年级西安交通大学附属中学航天学校校考阶段练习）如图，凸四边形中，，若点M、N分别为边上的动点，则的周长最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】由轴对称知识作出对称点，连接两对称点，由两点之间线段最短证明最短，多次用勾股定理求出相关线段的长度，平角的定义及角的和差求出角度的大小，最后计算出的周长最小值为6． 【详解】解：作点关于、的对称点分别为点和点， 连接交和于点和点，，连接、； 再和上分别取一动点和（不同于点和， 连接，，和，如图1所示： ， ，， ， 又， ，， ， 时周长最小； 连接，过点作于的延长线于点， 如图示2所示： 在中，，， ， ， ，， 又， ， ，， ， ， 又， ， ，， 在△中，由勾股定理得： ． ， 故选：C． 【点睛】本题综合考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，平角的定义和两点之间线段最短等相关知识点，解题的关键是掌握轴对称最短路线问题，难点是构建直角三角形求两点之间的长度． 2．（2020·江苏南通·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　） A． B．2 C．2 D．3 【答案】A 【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可． 【详解】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H， 在Rt△AHB中， ∵∠ABC＝60°，AB＝2， ∴BH＝1，AH＝， 在Rt△AHC中，∠ACB＝45°， ∴AC＝， ∵点D为BC中点， ∴BD＝CD， 在△BFD与△CKD中， ， ∴△BFD≌△CKD（AAS）， ∴BF＝CK， 延长AE，过点C作CN⊥AE于点N， 可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN， 在Rt△ACN中，AN＜AC， 当直线l⊥AC时，最大值为， 综上所述，AE+BF的最大值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键． 3．（2020·山东泰安·中考真题）如图，点A，B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，根据三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答． 【详解】解：如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大， ∵， 则△ABO为等腰直角三角形， ∴AB=，N为AB的中点， ∴ON=， 又∵M为AC的中点， ∴MN为△ABC的中位线，BC=1， 则MN=， ∴OM=ON+MN=， ∴OM的最大值为 故答案选：B． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是确定当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大． 4．（2019·广西玉林·统考中考真题）如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，根据图形与圆的性质即可求解. 【详解】如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F， 此时垂线段OP最短，PF最小值为， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∵点O是AB的三等分点， ∴，， ∴， ∵⊙O与AC相切于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴MN最小值为， 如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长， MN最大值， , ∴MN长的最大值与最小值的和是6． 故选B． 【点睛】此题主要考查圆与三角形的性质，解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质. 5．（2022秋·福建三明·八年级统考期末）如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为__________度． 【答案】 【分析】如图，作B关于的对称点D，连接，的值最小，则交于P，由轴对称易证，结合证得是等边三角形，可得，结合已知根据等腰三角形性质可求出，即可解决问题． 【详解】如图，作B关于的对称点D，连接， 的值最小， 则交于P，由轴对称可知： ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，，