第16讲 同构法巧证不等式-2023年新高考数学导数压轴题专题突破（尖子生专用）

学科网 李科网原，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 第16讲同构法巧证不等式 【典型例题】 例1.已知函数f(x)=axinx-x+1,aeR. (1)讨论f(x)的单调区间； (2)当p>q>1时，证明qlmp+lnq<plmg+lmp. 【解析】解：(1)f(x)=axlnx-x+1的定义域为(0，+0) .f(x)=alnx+a-1, ①当a=0时，f"(x)=-1<0,此时f(x)在(0，+o)上单调递减， I-a ②当a>0时，由"(x)>0可得x>e",由f"(x)<0,可得0<x<e·, ∴f(x)在(0，e·)上单谓递减，在(e，+∞)上单调递增， ③当a<0时，由f"(x)<0可得x>e·,由f"(x)>0,可得0<x<e·, f(x)在(0，e·)上单调递增，在(ea,+o)上单调递减， 正男2)故g国=晋则g)= x(x-1)2 由(1)可得f(x)=xlx-x+1在L,+o)上单调递增， f(1)=0, “.当xe(1,+o)时，f(x)>0, 当x∈(1，+)时，g'(x)<0, g(x)在(L,+0)上单谓递减， .当p>q>1时，g(p)<g(q), p-1g-1 :glnp-Inp plng Ing, :qinp ing pinq Inp. 例2.己知函数f(x)=(mr-I)e，meR· (1)讨论函数f(x)的单调性： (2)若peR,q∈0+m,证明：当m=1时，f0+g+0-9+2q>fp-g)+0+g 【解析】(1)解：f"(x)=(mx+m-1)e, ①m=0时，∫"(x)=-e<0恒成立，故f(x)在R上单调递减， 1 、原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 金学利网 李科网原创，让令司更多易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 ②当m>0时，若x∈(-1，o),)>0,函数单调递增，当x∈(，-)时，f<0,函数单调 递减， ③当m<0时，若x∈(-1，∞）)，了)<0，函数单调递减，当x∈(，-)时，f>0,函数单调 递增 (2)证明：m=1时，f(x)=xe, 要证p+9)+0-g+29>0-9+0+g, 即E0+g-0+gr+29>f0-g-0+g 即证f0+9)-0+g旷+p+g>fp-9-3p+9r+p-9 3 色g)=f因)-+x,上面不等式等价于gp+9)>gp-9 要证明g(p+q)>g(p-q)对于任意p,q>0都成立，即证g(x)单调递增， 又g'(x)=xe-3x+1, 令h(x)=e-x+1,则h'(x)=e-1, 当x>0时，h'(x)=e-1>0,函数单调递增，当x<0时，'(x)=e-1<0,函数单调递减， 故h(x)h(0)=0,即e-x+10恒成立， 故当x0时，xex2+x,xe-3x+1x2-2x+10, 当x<0时，e<1,xe*-3x+1=x(e-3+-)>0, 综上可得，又g'《(x)=xe-3x+10恒成立，故g(x)单调递增，得证. 例3.已知函数f)=r+2a-2a∈R). r+1 (1)讨论函数f(x)的单调性： (2)当a=2时，求证：f(x)>0在(L,+∞)上恒成立： (3)求证：当x>0时，+)> e-1 【解析】(1)解：函数f(x)的定义域为(0，+0)，f'(x)= 12ax2-2(a-1)x+1 x(+1)F= x(x+1) 令f"(x)=0,即x2-2(a-1)x+1=0,△=4(a-1)2-4=0,解得a=2或a=0, 若0a2,此时△0，f"(x)0在(0，+0)恒成立， 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利四 李科网原，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 所以f(x)在(0，+0)单调递增。 若a>2,此时△>0，方程x2-2(a-1)x+1=0的两根为： x=(a-l)+Va2-2a,x2=(a-1)-√a2-2a且x1>0,x2>0, 所以f(x)在(0，a-1-√a2-2a)上单调递增， 在(a-1-√a2-2a,a-1+√a2-2a)上单谓递减， 在(a-1+√a2-2a,+o)上单调递增 若a<0,此时△>0，方程x2-2(a-1)x+1=0的两根为： x=(a-)+Va2-2a,x2=(a-)-Va2-2a且x<0,x2<0, 所以f(x)在(0，+0)上单调递增. 综上所述：若a2,f(x)在(0，+0)单调递增： 若a>2，f(x)在(0，a-1-√a2-2a),(a-1+Va2-2a,+o)上单调递增， 在(a-1-√a2-2a,a-1+√a2-2a)上单谓递减 (2)证明：由(1)可知当a=2时，函数f(x)在(L,+o∞)上单调递增， 所以f(x)>f(1)=0,所以f(x)>0在L,+