第07讲 同构法妙解不等式恒成立问题-2023年新高考数学导数压轴题专题突破（尖子生专用）

令学利胸 李科网原到，让学司更会易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 第07讲同构法妙解不等式恒成立问题 【典型例趣】 例1.设实数元>0，若对任意的x∈(0，+四)，不等式e-0恒成立，则元的最小值为( ) A.I c. 2 e D. 【解析】解：实数元>0，若对任意的x∈(0，+o),不等式e:_加匹0恒成立， 事为e受0 设)=e_匹，>0，=e- x 令f"(x)=0,可得e= 由指数函数和反比例函数在第一象限的图象， 可得y=er和y= 有且只有一个交点， 12x 设为(m,),当x>m时，∫'(x)>0,f(x)递增： 当0<r<m时，f"(x)<0,f(x)递减， 即有f(x)在x=m处取得极小值，且为最小值。 即有 ,令e"-nmm=0, 可得m=e,元= 则当入L时，不等式e“_匹 0恒成立. e 则元的最小值为 e 另解1：由于y=e与y= 加互为反函数， 故图象关于y=x对称，考虑极限情况，y=x恰为这两个函数的公切线， 此时斜率k=1,再用导数求得切线斜率的表达式为k=e, 即可得入的最小值为 e 另解2：不等式e“-m0恒成立，即为ie-mr0, 即有元xe xlnx=lnx·e，,可令f(x)=xe,可得f(x)在(0，+o)递增， 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科购 李科网原到，让学司更会易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 由选项可得2>0，所以ix>0,若lm0,则入xbx, 所以x,即有入四). 由y=匹的导数为y=I-m,当x>e时，y=匹递减。0<r<e时，y=匹递增， 可得x=e时，y=匹取得最大值上.则元1， 1的最小值为 故选：A。 例2.设实数1>0，若对任意的xL,+o),不等式-加0恒成立，则实数1的取值范围是() 3 A哈四) C.[e,+o) D.[3e,+o) 【解析】解：因为2>0，不等式e_匹0成立，即3e:mr, 31 转化为3 xe xInx=e.nx恒成立， 构造函数g(x)=xe(x>0), 可得g'(x)=e+xe'=(x+I)e', 当x>0时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 则不等式e-匹0恒成立等价于g3x)gx)恒成立， 3元 即3元xmx恒成立，进而转化为32匹恒成立， 设=，可得h=1一 2 当0<x<e时，h(x)>0,x)单调递增， 当x>e时，(x)<0,h(x)单调递减， 所以当x=e,函数)取得最大值A(e)=I, 所以3玩 e 所以实数入的取值范围为[二，+o), 故选：B 例3.设实数a>0,若对任意的xe[e,+o),不等式ae-x2mx0恒成立，则a的最大值为( 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利购 李科网原到，让学司更会易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 1 A. B.2 c D.e e 【解析】解：因为对任意的x∈[e,+o),不等式aer-xlmx0恒成立， 所以xlx x 即re心ge, 令f(x)=xe,x>0, 则f(x)=(x+1)e'>0, 故f(x)在(0，+)上单谓递增， 由题意得f)f(侣， 所以mx口，即axr对任意的x∈[e,+o)恒成立， 故只需a(xlnx)a· 易得g(x)=xnr在∈[e,+oo)上单调递增， 故g(x)mn=g(e〉=e 所以ae. 故选：D 例4.设a>0,若对任意的x∈(0，+o),不等式aer-lmxr0恒成立，则a的最小值为() A. B.1 c. e e D. 【解析】解：对任意的x∈(0，+o),不等式ae“-r0恒成立，即e“_m匹0恒成立， ~函数y=“与函数y=互为反雨数， 原问题等价于e“-x0,则a匹 设=货，则=匹，令=0，解得x=e,易知e=0=日 故a. 故选：A 例5.设实数m>0,若对任意的xe,不等式xx-mer0恒成立，则m的最大值是() 3 ©原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学利网 李科网原到，让学司更会易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 A. C.2e D.e e B. 【解析】解：由题意，令f(x)=x1nx, 则f"(x)=2xlmx+x在xe是恒大于0的， ·.fx)在[e,+oo)是递增函数，可得为f(x)m=f(e)=e .e2me*在xe恒成立即可. 实数m>0,g(x)=me在[e,+oo)是递减函数， g(r)mr=g(e）=m·ef, 即meee2. 解得：0<me. m的最大值为e. 故选：D 例6.己知函数f(x)=1+ae1nx, (I)当a=1,讨论函数f(x)的单调性： (Ⅱ)若不等式f(x)e(x-x)(a<0),对x∈1，+o)恒成立，求实数a的取值范围. 【解析】解：(I)f(x