第13讲 证明不等式之对数单身狗，指数找朋友-2023年新高考数学导数压轴题专题突破（尖子生专用）

令学科网 学科网原到，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 第13讲证明不等式之对数单身狗，指数找朋友 【典型例题】 例1.已知0<a子函数=(x+)-x+a （I)证明：y=f(x)在(0，)上有唯一零点； (Ⅱ)记x为函数y=f(x)在(0，)上的零点.证明： (i)√a<x。<2Wa: (ii)xof(x+1)-Inx >1-5a 【解析】证明：(0当x∈0，刂时，f)=1 所以f(x)在[0，]是减函数(2分) f0)=a>0, fD)=n2-1+an2-l+=2-_l6-me<0, 4 4 所以f(x)在(0,1)上存在唯零点(5分》 (Ⅱ)(1)即证a<x,2<4a,x。∈(0,1)， 由已知lm(x。+I)-x。+a=0得a=x。-lm(x。+1), 代入上式只要证x。-lm(x。+1)<x2<4x。-41n(x。+),(6分) 构造函数o(x)=x2-x+In(x+1), p=2x-1+12+x>0,所以p)为增函数p>p0)=0, x+1x+1 所以x-lm(x+)<x2,(8分) 构造函数h(x)=4x-x2-4lm(x+1), )=4-2x-4=2-》0, x+1x+1 所以h(x)为增函数，h(x)>h(O)=0, 所以x2<4x-4lm(x+1) 故原不等式成立(10分) (i间由已知ln(x。+1)=x。-a, 所以xf(2x。+1)-lnx。=xlm(2x。+2)-(2x,+1)+a]-lmx =xo{m2+ln(xo+l)-2x。-1+a]-lnx。 xo(In2+xo-a-2xo-1+a)-Inxo 1 ⊙、原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 。学利网 李科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 =-x,2+(n2-10x。-lmx。, im(x)=-x2+(in2-1)x-inx m)=-2x+n2-1-1<0, 所以m(x)为减函数，因为x<2√a1, 所以m(x)>m(2√a)=-4a+2(m2-1)Na-lm2、a(12分) 因为ln2√a<2√a-1, 所以m(x)>-4a+2ln2-√a-2a-(2√a-1) >-4a+Na-2√a-2Va+1 =-4a-3Va+1, 由0<a得a6, 1 所以-4a-3Va+1-2Va-3Va+1=1-5Va, 故xf(2.x+1)-lx>1-5va成立(15分》 例2.己知函数f(x)=x-alnx(a>0). (I)求函数f(x)的单调区间： ()求函数=-ar-)的零点个数： ()当a=1时，求证不等式f解集为空集. 【解析】解：(I)fx)的定义域为(0，+o),f()=1-=-, xx 令f'(x)=0,得x=a,(a>0), 当x>a时，有f'(x)>0,所以f(x)在(a,+oo)上单调递增. 当0<x<a时，有f'(x)<0,所以f(x)在(0，a)上单调递减 所以f(x)的单调增区间为(a,+o),单谓减区间为(0，a): (D函数g)--m-fe倒的导数为g=红-ac-》】 令g'0)=-a0-》=0,解得飞=a,5=1, 3 80=-a-2<0,g(2a+3)=a+alm(2a+3)+号>0， 2 当a>1时，g(x)在(L,a)上递减，有g(1)>g(a), 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 金学利网 李科网原，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 所以g(a)<0.所以g(x)有一个零点， 当a=1时，g(x)在(0，+o)上递增， 所以g(x)有一个零点 当0<a<1时，g(x)在(0，a)上递增，在(a,l)上递减，在(L,+oo)上递增. 此时a=女-a+h加<0， 所以g(x)在(0，+0)上只有一个零点： (D证明：当a=1时，不等式f)X-解集为空集， 等价于)>1在定义域内恒成立， 即f)-X一1>0在定义域内恒成立： 令x)=f)--1 所以hMg=x+L-hmx-I: )=1-↓-1=2-x-1 x2 x x2 令h)=0,得x=5+1， 2 列表得： 中 o.5+马 5+1 2 2 h'(x) 0 + h(x) 递减 最小值 递增 -51-h 2 因为5+1<e,所以n5+1<1. 2 又5-1>1所以5+凸>0. 2 所以()=f)--1>0恒成立， 所以不等式f(x) x一1解集为空集。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 学利网 李科网原，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 例3.设函数f)=x-ar+a-2a>0). (I)求函数f(x)的单调区间： (Ⅱ)记函数f(x)的最小值为g(a),证明：g(a)<1. 【解析】解：(I)显然f(x)的定义