第12讲 证明不等式之凹凸反转、拆分函数-2023年新高考数学导数压轴题专题突破（尖子生专用）

学科网 李科网原，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 第12讲证明不等式之凹凸反转、拆分函数 【典型例趣】 x2+2 例1.己知函数f()=amr+)+ 1 aeR)· (1)若x=√2是f(x)的极小值点，求a的取值范围： ()若a=-1,/)为/的导函数，证明：当1x2时，f)-f>: 【解析】解：(1)f(x)的定义域是(0，+o), 则国-是9+1-是-+0-习 若a0,则当x∈(0，V2)时，f"(x)<0,当xe(W2,+o)时，f"(x)>0, 故x=√2是函数f(x)的极小值点，符合条件， 若a<0，令f"(x)=0,解得：x=-a或x=√2， 若-V2<a<0,则当xe(0,-a)和x∈(W2,+o)时f'(x)>0, 当x∈(-a,V2)时，f"(x)<0, 故x=√2是f(x)的极小值点，符合条件， 若a=-√2，则f'(x)0恒成立，f(x)没有极值点，不符合条件， 若a<-√2，则当x∈(0，√2)和xe(-a,+o)时f"(x)>0, 当x∈(N2,-a)时f"(x)<0,故x=V互是f(x)的极大值点，不符合条件， 故a的取值范围是(-√2，+o): (I)当a=-1时，f)=-mx- 子++子，rw=1+2 P+12 则f)-f)=x-hx-1+3+1-2, rF京te0,2引， 312 设g国)=-r-l,0=十京子，e,2列 由g)=1-0,可得g()g(1)=0,当且仅当x=1时“：”成立， h)=-3x2-2r+6 设p(x)=-3x2-2x+6,则p(x)在1,2]上递减， 9(1)=1,0(2)=-10, 1 、原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 于科问原创，让学习更容易！ p。zx K.coM学科网精品频道全力推荐 故存在x_0∈[1，2]，使得当xε(1，x_，)时，φ(x)>0，当xε(x。，2)时，φ(x)<0， 故h(x)在(1，x，)上单调递增，在(x_0，2)上单调递减， 由于h（）=2，h（2）-，故h(x)h（2）-，当且仅当x=2时“-”成立 放1·2时fω-r6-x6-A0>x0+2)号 例2．已知函数f(x)=e'-ae’x． （1）讨论f(x)的单调区间； （2）当a<0时，证明：f(x)>e'mx· 【解析】解：（1）f(x)=e'-aex，f′(x)=e'-ae ①a0时，f’(x)>0，f(x)在R递增， ②a>θ时，令f’(x)>0，解得：x>2+lna﹐ 令f’(x)<0，解得、x<2+lna﹐ 故f(x)在(–x，2+lna)递减，在(2+lna，+x)递增 综上：a0时，f(x)在R递增， a>0时，f(x)在(-x，2+na)递减，在(2+na，+x)递增： （2）要证e^t-ae^’x-e'nx，(x>0)， 由于a<0时，ae’x<0．只需e′-emx>0· 设g(x)=e'-em，则g(x)=e'--g”x)=e+>0， 故g′(x)在(0，+x)递增， 又g（1)=e-e'<0，g2)-->0， 故存在xo∈(1，2)，使得g()=e^∘--=0，即e%=二，m，=2-x， 故当xε(0，x_s)时，g'(x)<0，当xε(x_。，+x)时，g'(x)>0， 故g(x)在(0，x)递减，在(x%，+x)上递增， 故g(x)_s=g(x)=-em-e(2-xx)-=+ex，-2e>2-2=0， 故g(x)>0，即e2-lmx>0， 综上：当a<0时，f(x)>e'hx 例3．已知函数f(x)=axe-mx-x+2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学利网 李科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 (1)设r=2是函数f(x)的极值点，求a,并求f(x)的单调区间： (2)证明：当a1时，fx)0. 【解析】(1)解：因为函数f(x)=axe-3-lnx-x+2(x>0), 则f")=0+xae2-, 因为x=2是函数f(x)的极值点， 所以/2》=0，即3ae-为=0.解得a=号 经检验，4=}符合题意， 2 所以fm)=1+5e-马=x+ (xe-2-2x>0), x 2x 令h(x)=xe-2-2(x>0), 则h'(x)=(1+x)e-2>0且h(2)=0, 所以当0<x<2时，h(x)<0,则f'(x)<0,故f(x)单调递减， 当x>2时，h(x)>0,则(x)>0,故f(x)单调递增， 所以f(x)的单调递增区间为(2，+©)，单调递减区间为(0,2)： (2)证明：令g)=mr+x-2 e,r>0, 令t=xe-2>0,则lnx+x-2=lnt, 所以m0=>0 所以m0=-=0,解得1=e, 当0<1<e时，m'(>0,则m0单调递增， 当