第10讲 证明不等式之构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）-2023年新高考数学导数压轴题专题突破（尖子生专用）

学科购 李科网原，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 第10讲证明不等式之构造函数 (差构造、变形构造、换元构造、递推构造) 【典型例题】 例1.已知曲线f)=了1与曲线g)=ax在公共点a,0)处的切线相同， (I)求实数a的值： ()求证：当r>0时，-1x-1. 2 【解析】(1)解：)=x,g)=, 1 依题意f'(1)=g(1),a=1: ()证明：由2--=-y0,得2x-1 2 令hm=x-1-x,则)=1-L=-1 XX ∴x∈(0，I)时，(x)<0,hx)递减： x∈(L,+o∞)时，h'(x)>0,x)递增. x>0时，h(x)h(1)=0,即x-1lmx, 综上所述，r>0时，-x-1x 2 例2.已知函数f(x)=e-ar-l(aeR),g(x)=xlnx. (1)求函数f(x)的单调区间： (2)若直线y=x-1是函数y=f(x)图象的切线，求证：当x>0时，f(x)g(x). 【解析】(1)解：f'(x)=e-a, 当a0时，f'(x)>0,f(x)在(-o,+0)上单调递增： 当a>0时，令f'(x)=0,可得x=lna, 当x∈(-o,lna)时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 当xe(na,+o)时，f"(x)>0,f(x)单谓递增 综上可得，当a0时，f(x)在(-0，+0)上单调递增： 当a>0时，f(x)在(-o,lna)上单调递减，在(lma,+o)上单调递增. (2)证明：直线y=x-1是函数y=(x)图象的切线，设切点为(x,f(x)》, 则e-a=l,即x。=lm(a+l) 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 金学利网 学科网原到，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 切点在切线上，f(,)=lm(a+)-1, f(xo)=f(In(a+1))=a-aln(a+1), ln(a+l)-1=a-alm(a+1),解得a=e-1 当x>0时，f(x)g(x)等价于e-(e-l)x-1xlmr, 等价于E-(e-)-I-mx0, 1” 设h)=e-(e-)-1-lmr, 则h=ee+号-1-e-1x-业 + x>0,e-1>0,由h'(x)=0,得x=1, 当x∈(0，)时，(x)<0,h(x)单调递减， 当xe(1,+o)时，h(x)>0,hx)单调递增， .h(x)m=h(1)=0,即h(x)0, f(x)g(x). 例3.已知f(x)=e. (1)若x0时，不等式(x-)f(x)mx2-1恒成立，求m的取值范围： (2)求证：当x>0时，f(x)>4nx+8-81n2. 【解析】解：(1)不等式(x-1)f(x)mx2-1恒成立， 即(x-1)e'-mx2+10恒成立， 令g(x)=(r-1)e-mx2+1,则g'(x)=x(e-2m)(x0), 当m号时，对任意xe0,o),有g0,得8)在0，o)上单调递增 gg0)=0.即m号满足题意， m≥)时，若xe0,n2m),则g'( g(x)在(0，ln2m)上单调递减，∴g(m2m)<g(0)=0, 与g(x)0矛盾，不合题意. 综上所述，m2 1 证明：(2)令h(x)=e-4lnr-8+8ln2, 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 于科问原创，让学习更容易！ Ipzx K.coM学科网精品频道全力推荐 w(ω)=e-4 ∵h∥(x)在(0，+x)上单调递增，且A（1）=e-4<0，W’（2）=e^2-2>0， ∴存在唯一的x_o∈(1，2)，使得H(x_，)=0﹐ 当xε(0，x_s)时，h(x)<0，h(x)单调递减， 当xε(x_a，+x)时，H(x)>0，h(x)单调递增， ∴h(x)=h(x_2)=e-44x，-8+8n2， 由H(x_，)=0，得e^5=三，∴x%=ln4-hx% M)-4+-x)-8+82-4+-+24+-8-0， “x_pε(1，2)，上式“=”不成立 ∴h(x）h(x_，)>0， 即f(x)>4nx+8-8ln2． 例4．已知函数f(x)=”，g(x)=e (1）若函数h(x)=5ax^2+x1-(a+1)f(x)]有唯一的极小值点，求实数a的取值范围； （2）求证：f(x)+1g(x-1)· 【解析】解：（1）h(x)=a^2+x[|-(a+1)f(x)]-5ax^2+x-(a+1)x﹐ 则h(x)=ax+1-a+1-a^2+x-a+1)-(ax+a+Dx-1)，x>θ x 令g(x)=(ax+a+1)(x-1)， ①当a=0时，g(x)=x-1，易得函数h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+x)上单调递增，此时存在唯一的极小 值点，满足题意， ②当a>0时，令g(x)=0可得x=1，x=-1--<0