第08讲 恒成立问题之构造函数技巧-2023年新高考数学导数压轴题专题突破（尖子生专用）

学科网 李科网原，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 第8讲恒成立问题之构造函数技巧 【典型例题】 例1.已知函数f(x)=mxr-1,m≠0. (1)讨论函数f(x)的单调性： (2)若g)=r-2x,且关于x的不等式f田g)在(0，w)上恒成立，其中c是自然对数的底数， 求实数m的取值范围 【解析】解：(1)根据题意可知f(x)的定义域是(0，+0)， 1 f"(x)=m(mx+I),令f(x)=0,解得：x=二， 当m>0时，0<x<-时，"(x)<0,x>-时，f'(x)>0, 当m<0时，0<x<上时，f)>0,x>1时，)<0， 综上，当m>0时，f)在(0，马单调递减，在（合，+o)上单调递增， 当m<0时，f(x)在(0，马上单调递增，在己，∞)上单调递减； (2)由愿意：mx-1x-2x,即x+1-mlhx-20在(0，+o)上恒成立， 1 令p)=x+-mmx-2,则p)=l--m_-mr-, e xx x2 对于y=x2-mx-1,△=m2+4>0,故其必有2个零点，且2个零点的积为-1， 则2个零点一正一负，设其正零点为x。e(0,+), 则x2-m,-1=0,即m=名云 且p(x)在(0，x)上单调递减，在(：。，+∞)上单调递增， 故p)0,即，+--x-20, 令g闲=x+-x-mr-2 e 则g)=1-克-0+诗r-0-之）=-1+点mx· 当xe(0,1)时，g()>0,当xe(1,+o)时，q(x)<0, 则qx)在(0,1)上单调递增，在(L,+)上单调递减， 1 、原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学科网 李科网原创，让李司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 又g白=g(e)=0,故∈[，： 显然函数m=,-上在，日上是关于x的单调递增函数， 则mee,e- 故实数m的取值范围是-e,e-占且m≠0。 例2.已知关于x的函数y=f(x),y=g(x)与h(x)=r+b(k,b∈R)在区间D上恒有f(x)h(x)g(x). (1)若fx)=x2+2x,g(x)=-x+2x,D=(-0,+o),求hx)的表达式： (2)若f(x)=x2-x+1,g(x)=khx,h(x)=k红-k,D=(0,+o),求素的取值范围： (3)若fx)=x-2x2，gx)=4r2-8，hx)=4-0x-3*+2r2(0V2)，D=[m,川c[-√2， √2]，求证：n-m√万. 【解析】解：(1)由f(x)=g(x)得x=0, 又f'(x)=2x+2,g'(x)=-2x+2,所以f'(0)=g'(0)=2, 所以，函数h(x)的图象为过原点，斜率为2的直线，所以h(x)=2x, 经检验：h(x)=2x,符合任意， (2)h(x)-g(x)=k(x-1-lnx), 设p(x)=x-1-mx,设p()=1-1=-l 在(1，+o)上，p'(x)>0,p(x)单调递增， 在(0,1)上，p'(x)<0,p(x)单调递减， 所以p(x)p(1)=0, 所以当h(x)-g(x)0时，k0, 令p(x)=f(x)-h(x) 所以p(x)=x2-x+1-(kx-k)=x2-(k+1)x+1+k)0,得， 当x=k+10时，即k-1时，f(x)在(0，+0)上单调递增， 所以p(x)>p(0)=1+k0,k-1, 所以k=-1, 当k+1>0时，即k>-1时 △0，即(k+1)2-4(k+1)0, 解得-1<k3, 2 、原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 于科问原创，让学习更容易！ p。zx K.coM学科网精品频道全力推荐 综上，k∈[0，3]． （3）①当1t\sqrt{2}时，由g(x）h(x)，得 4x^2-84(’-t)x-3x^1+2x^3 整理得x^2-(t^3-t)x+3-4-0，(”) 令△=(t^1-t)^2-(3t′-2t-8)， 则△=t-5t+3t^2+8， 记φ(t)=t^′-5x^4+3x^2+8(1t\sqrt{2}) 则φ’(l)=6r'-20x^3+6t=2t(3t^2-1)(^3-3)<0，恒成立， 所以φ(x)在1，\sqrt{2}]上是减函数，则φ(\sqrt{2}）φ(）φ（1)，即2φ()7， 所以不等式(*)有解，设解为x_1xx_2， 因此n-mx_2-x1=\sqrt{2}\sqrt{7}． ②当0<t<1时， f(-1)-h(-1)=3x'+4t^1-21-41-1， 设v(t)=3t^1+4t^3-2t^1-4t-1， 则v(t)=12t^3+12x^3-4t-4=4(t+)(3t^2-1)， 当rε(0÷时，vω)<0，(0)是减函数， 当tε(÷^﹐n)时，vω>0，ν(0)是增测数， v(0)