第06讲 妙用洛必达法则-2023年新高考数学导数压轴题专题突破（尖子生专用）

第06讲 妙用洛必达法则 【典型例题】 例1．已知． （1）求的单调区间； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 例2．设函数，其中． （1）时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （2）讨论函数极值点的个数，并说明理由； （3）若，成立，求的取值范围． 例3．已知函数． （1）若函数在点，（1）处的切线经过点，求实数的值； （2）若关于的方程有唯一的实数解，求实数的取值范围． 【同步练习】 1．设函数， （1）若，求的单调区间； （2）若当时，求的取值范围． 2．设函数，其中． （1）讨论函数极值点的个数，并说明理由； （2）若，成立，求的取值范围． 3．已知函数，，若对于任意恒成立，求的取值集合． 4．设函数，，，其中是的导函数，若恒成立，求实数的取值范围． 5．若不等式对于恒成立，求的取值范围． 6．设函数．设当时，，求的取值范围． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $第06讲 妙用洛必达法则 【典型例题】 例1．已知． （1）求的单调区间； （2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【解析】解：（1）的定义域为，， 令，则 所以当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增，所以时，（1）， 即在上单调递增， 所以的增区间为，无减区间． （2）对任意，不等式恒成立等价于对任意，恒成立． 当，对任意，不等式恒成立等价于对任意，恒成立． 记，则， 记， 则， 所以在单调递减，又（1）， 所以，时，，即， 所以在单调递减． 所以， 综上所述，的取值范围是． 例2．设函数，其中． （1）时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （2）讨论函数极值点的个数，并说明理由； （3）若，成立，求的取值范围． 【解析】解：（1）当时，切点为，则，所以， 切线方程为，即， 所以切线方程为：； （2）由题意可知，函数的定义域为， 则，令，， ①当时，，函数在上单调递增，无极值点， ②当时，△， 当时，△，，， 所以在上单调递增，无极值点， 当时，△，设方程的两个根，，，且，，此时， 因为，，，，所以， 因为，，时，，，函数单调递增， ，时，，，函数单调递减， 所以函数有两个极值点， 当时，△，设方程的两个根，，，且，，此时， 因为，所以， 所以，时，，，函数单调递增， 当，时，，，函数单调递减， 所以函数有一个极值点， 综上可知，当时，函数有一个极值点； 当时，函数无极值点； 当时，函数有两个极值点； （3）当时，函数在上单调递增， 因为，所以时，，符合题意， 当时，，得， 所以函数在上单调递增， 又因为，所以时，，符合题意， 当时，由，得， 所以时，函数单调递减， 因为，所以时，时，不符合题意， 当时，设， 因为时，，所以在上单调递增， 所以当时，，即， 可得， 当时，，此时，不合题意， 综上，的取值范围为，． 例3．已知函数． （1）若函数在点，（1）处的切线经过点，求实数的值； （2）若关于的方程有唯一的实数解，求实数的取值范围． 【解析】解：（1），在点，（1）处的切线的斜率（1）， 又（1），切线的方程为， 即，由经过点， 可得． （2）证明：易知为方程的根， 由题只需说明当和时原方程均没有实数解即可． ①当时，若，显然有，而恒成立，此时方程显然无解， 若，，， 令，故在单调递增，在单调递减， 故在单调递减， 从而，，此时方程也无解． 若，由， 记，则， 设，则有恒成立， 恒成立， 故令在上递增，在上递减 （1），可知原方程也无解， 由上面的分析可知时，，方程均无解． ②当时，若，显然有，而恒成立，此时方程显然无解， 若，和①中的分析同理可知此时方程也无解． 若，由， 记，则， 由①中的分析知， 故在恒成立，从而在上单调递增， 当时，， 如果，即，则， 要使方程无解，只需，即有 如果，即，此时，，方程一定有解，不满足． 由上面的分析知时，，方程均无解， 综合①②可知，当且仅当时，方程有唯一解， 的取值范围为． 【同步练习】 1．设函数， （1）若，求的单调区间； （2）若当时，求的取值范围． 【解析】（1）时，，． 当时，；当时，．故在单调减少，在单调增加． （2）当时，，对于任意实数，恒成立； 当时，等价于， 令，则， 令，则，， 所以在上为增函数，， 所以在上为增函数，， 所以，在上为增函数． 而，，由洛必达法则知， ，故． 综上得的取值范围为． 2．设函数，其中． （1）讨论函数极值点的个数，并说明理由； （2）若，成立，求的取值范围． 【解析】（1），定义域为 ， 当时，，函数在为增函数，无极值点． 设， 当时，根据二次函数的图像和性质可知的根的个数就是函数极值点的个数． 若，即时，，