第05讲 放缩法妙解不等式问题-2023年新高考数学导数压轴题专题突破（尖子生专用）

于科问原创，让学习更容易！ p。zxx coM学科网精品频道全力推荐 第05讲放缩法妙解不等式问题 【典型例题】 例1.已知函数f(x)=-e-k+x，其中aεR且a≠0． 1)设a>0，过点A(-1-2作曲线C：y=f(x)的切线（斜率存在)，求切线的斜率， (2）证明，当a=1或0<a2时，f(x)2a(x-1)。 W1①的由fO=-l+x。9ω= 因为f(-1)=>0，放点A(-1-22不在曲线C上，设切点为T(，y，(_9>1， 又k= 整理-得_2e(xx+)-号\sqrt{x}+1=y+^将=a-+1代得 整理得5^x+_2(\sqrt{，}+I-1)=0， 因为a>0，所以-e+，1一>0，所以=0， 液线打的斜率为k=fω一号 (2)证明：①当a=1时，f(x)2m(x-1)，所以一-+x0(x-1)· 由c1+x得e-x1+_2^x，又1+x-+4+2+x， 当且仅当x=0时取等号， 所以e’-_2^x+x，即e-_2^x-\sqrt{l}+x0， 实原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 金学利网 李科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 即当a=1且x-1时，f)2ax-0 ②当0<a己时，令fax-,所以e-r+x-0 令px=e- a -w-. o)-1-4e+iQ-a)x=(1-aX-e+ix). 2 因为0<a2<1,所以p)=1-a2e+>0,p()是[-1，o)上的增函数， 又o-》=0-ox品为0，所以o4p-0 故当0<a 2,x-1时，上e-a a2ax e--r 0朔e-+x,所以c-。 -2ar1+x(x-), 即当0<a己时，fwmx-小. 综上所述：当a=1或0<a子时，f)ae-). 例2.已知函数f)=(r-2x+2e-ja(ack). (1)当a=e时，求函数f(x)的单调区间： (2)证明：当a-2时，f(x)2. 3er2, 【解析】(1)解：当a=e时，f)=2-2x+2e- 所以f'(x)=x'e'-ex=x(xe'-e), 讨论：①当x<0时，xe-e<0,有f'(x)>0: ②当0<x<1时，由函数y=xe为增函数，有xe-e<0,有f"(x)<0: ③当x>1时，由函数y=xe为增函数，有xe-e>0,有f"(x)>0. 综上，函数f(x)的增区间为(-o,0),L,+0),减区间为(0，) 2)证明：当a-2时，有01，所以-m, 所以f(x)(x2-2x+2)e+x2, 令g(x)=(x2-2x+2)e+x2,则g'(x)=xe+2r=x(xe+2), 令h(x)=xe+2,有h'(x)=(x+1)e', 2 、原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利四 李科网原，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 令h'(x)=0,得x=-1, 分析知，函数(x)的增区间为(-L,+o),减区间为(-，-1)， 所以)=h(-)=2-1>0. 所以分析知，函数g(x)的增区间为(0，+o),减区间为(-0,0)， 所以g(x)mn=g(0)=(02-2×0+2)×e°+02=2， 故当a-2时，f(x)2, 例3.己知函数f(x)=2lnx+sinx+1,函数g(r)=ar-1-bln.x(a,beR，ab≠0). (1)讨论g(x)的单调性： (2)证明：当a=b=1时，g(x)0. (3)证明：f(x)<(x2+1)emr. 【解折】解：q)函数g)的定义域(0，+切)，g国=匹-b 当a>0,b<0时，g'(x)>0,则g(x)在(0，+0)上单调递增： 当a>0,b>0时，由g)>0可得x>，此时函数单调递增，令g)<0可得0<x<,此时函数单调 递减， 当a<0,b>0时，g'(x)<0,函数在(0，+o)单调递减， 当a<0,b<0时，由g(x)>0可得0<x<,此时函数单调递增，令g()<0可得x>么，此时函数单调 0 递减， (2)当a=b=1时，g(x)=x-1-lnx, 由(1)知，g(x)m=g(1)=0, 所以g(x)0, (3)因为x>0,所以x2e>0, 由(2)可得x2em-1-lm(x2enx)0, 即x2emr1+2lnx+sinx, 又(x2+1)er>x2emx :(x2+1)e"2Inx+sin x+1, 即f(x)<(x2+1)emr. 例4.已知函数f)=ae'(aeR),g=匹+1. 3 、原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 金学利网 李科网原，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 (1)当a=时，求函数y=f(x)在Q,f(1))处的切线方程： (2)当a1时，证明：f)-g()0. 【解析】解：(1)当a=