第02讲 分离参数之全分离，半分离，换元分离-2023年新高考数学导数压轴题专题突破（尖子生专用）

学利网 李科网原，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 第02讲分离参数之全分离，半分离，换元分离 【典型例趣】 例1.己知函数f(x)=e+ar2-x. (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性： (2)当x0时，f9+1,求a的取值范围. 【解析】解：(1)当a=1时，f(x)=e+x2-x, f"(x)=e+2x-1,设g(x)=f"(x): 因为g'(x)=e+2>0,可得g(x)在R上递增，即f(x)在R上递增， 因为f'(0)=0,所以当x>0时，f(x)>0;当x<0时，f(x)<0, 所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，在(-0,0)上单调递减： 2)当x0时，+1恒成立， ①当x=0时，不等式恒成立，可得a∈R: ②当x>0时，可得a2 +x+1-e 恒成立， x2 1x+x+1-e (2-xe+(5x2-x-2)(2-x0e+5x2-x2)+(x2-x-2) 设(x)=2 x2 —，则h'(x)= 2-e+c-2)+x-2r+）2-xe-22-x- x 可设m=e-x2-x-1,可得m(x)=e-x-1, 2 设k(x)=e-x-1,k'(x)=e-1, 由x>0,可得(x)>0恒成立，可得(x)在(0，+o)递增， m'(x)在(0，+o)递增， 所以m'(x)>m'(0)=0, 即m'(x)>0恒成立，即m(x)在(0，+0)递增，所以m(x)>m(0)=0, 再令h'(x)=0,可得x=2,当0<x<2时，h'(x)>0,(x)在(0,2)递增： r>2时，)<0，)在2，+o)递减，所以h=h(2)=7-C, 4 所以a 7-e2 4 1 、原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利四 李科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 踪上可得a的取值范用是。，o)} 例2.已知函数f(x)=x+x2+(a-1)x+1, (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性： (2)当x>0时，f(x)x+e,求a的取值范围. 【解析】解：(1)当a=1时，f(x)=x+x2+1, 所以f'(x)=4r3+2x=2x(2x2+1）, 当x>0时，f(x)>0,函数单调递增，当x<0时，f(x)<0,函数单调递减， 所以函数的单调递增区间为(0，+0)，函数的单调递减区间为(-0,0)： (2)由题意得，x>0时，x+x2+(a-1)x+1x+e恒成立， 即x2+(a-1).x+1e*恒成立， 所以a-1e-2-1 令gx)=e-2-1 x>0, 由重要不等式可知，当x>0时，e>x+1, g'(x)-(e'-2x)x-(e'-x-D_(-D(e'-x-1) x x 当x>1时，g'(x)>0,g(x)单调递增，当0<x<1时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 所以g(x)g(1)=e-2, 所以a-1e-2,即ae-1, 所以a的范围为{aae-I}· 例3.已知函数f(x)=e-ax2-x-1. (I)当a=-1时，讨论f(x)的单调性： （)当x0时，)式-2ar恒成立，求实数。的取值范围。 【解析】解：()当a=-1时，f(x)=e+x2-x-1, 则f'(x)=e'+2x-1在R上单调递增， 又f'(0)=0, 故当x>0时，f(x)>0，函数f(x)单调递增，当x<0时，f"(x)>0,函数f(x)单调递减， 所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，在(-，0)上单调递减： 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利四 李科网原，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 (0当x=0时，不等式f(x) -2ax2恒成立， 当x>0时，由f田))-2ar2恒成立可得a x2+x+1-e 2 恒成立， 令gx)=2 +x+1-e x2—,x>0, 则g'(x)= 2-e+-x-20-e--x-0 x 令mx)=e--x-1,则m'国=e'--1 令h(x)=e-x-1,x>0,则h'(x)=e-1>0, 所以hx)在(0，+o)上单调递增，h(x)>h(0)=0, 所以m'(x)>0,m(x)在(0，+0)上单调递增，m(x)>m(0)=0, 所以当0<x<2时，g'(x)>0,g(x)单调递增，当x>2时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 所以g(x)a=g(2)-7-e 4 所以a7-e 故：的取值宿国为aa7:子。 例4.已知函数f(x)=almx+x2-x,其中aeR, (1)当a>0时，讨论f(x)的单调性： (2)当x1时，f(x)0恒成立，求a的取值范围 【解折】解：(1)f国=8+2x-1=2-x+0,K>0). 令gt闭=2r-+a=2-+agc>0, a8时，8国0，即f0, f(x)在(0