第17讲 证明不等式之泰勒展式和拉格朗日中值定理-2023年新高考数学导数压轴题专题突破（尖子生专用）

学科阿 李科网原，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 第17讲证明不等式之泰勒展式和拉格朗日中值定理 【典型例趣】 例1.己知函数f(x)=naxe+asinx,a>0. (1)若x=0恰为f(x)的极小值点. (i)证明：2a<l: (i)求f(x)在区间(-o,π)上的零点个数： 2)若a=1,四=0-+0-0+云0-卖0+京0-点+点 元 3π 又由泰勒级数知：cox=1-号+名+…+ 2!4！6: -+…，n∈N,证明： (2n)！ 下+2++…+川 6 【解析】解：(1)证明：(1)由题意得：f'(x)=lna(1-x)e+acosx(a>0), 因为x=0为函数f(x)的极值点，所以f'(O)=1ma+a=0, 令g(x)=mr+x(x>0),则ge)=】+1>0,g()在(0，+o)上单调递增， 11 因为g)>0,g(3)=ln5+2=n e <0, 22 所以g(x)=x+x(x>0)在(，)上有唯一的零点a, 所以 a<1 (i)由(i)知：lnma=-a,f(x)=a(sinx-xe),f'(x)=a[cosx-(l-x)e], ①当xe(-o,0)时，由a>0,-1cosx1,1-x>1,e>1得：f"(x)<0, 所以f(x)在(-o,0)上单调递减，f(x)>f(0)=0, 所以f(x)在区间(-o,0)上不存在零点： ②当xe(0,π)时，设h(x)=cosx-(1-x)e',则h'(x)=(2-x)e'-sinx, 1°若x∈(0，]，令m(x)=(2-x)e-sinr,则m'(x)=(x-3)e-cosx<0, 所以m(x)在(0，牙引上单调递减，因为m(0)=2>0,m(否)=(2-交)e-1<0: 2 所以存在a∈(0，)，满足m(a)=0, 1 头原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利四 李科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 当x∈(0，a)时，m(x)=h'(x)>0,h(x)在(0，a)上单调递增； 当x∈(a,时，m()=h'(x)<0,)在(a,月]上单调递减： 2若xe写2，令o)=2-gxe受21，则p(=红-e<0, 以p(x)在区间S2上单调递减，所以p(x)<p(今=(2-2e< 又因为sinx sin2=sin(r-2)>sim石=)， 所以h)=2-x刘e-sinr<0,)在（号2]上单调递减： 3°若x∈(2，π)，则h'(x)=(2-x)e-sinx<0,x)在(2，π)上单调递减： 由123°得，(x)在(0，a)上单调递增，hx)在(a,π)单调递减， 因为h(a)>h(0)=0,h(x)=(x-1)e-1<0, 所以存在B∈(a,π)使得h(B)=0, 所以当x∈(0，β)时，"(x)=h(x)>0,f(x)在(0，B)上单调递增，f(x)>f(0)=0, 当x∈(B,π)时，f(x)=h(x)<0,f(x)在(B,π)上单调递减， 因为f(B)>f(0)=0,f(π)<0，所以f(x)在区间(B,π)上有且只有一个零点： 综上，f(x)在区间(-0，π)上的零点个数为2个： (2)因为血x=0-￡1- 3元1-r n以.0 对os=l-三+-兰+Hr+ 2！4161 (2n)！ n'初7*+ 两边求导得：-snr=-上+-x+ (2n-11+, 3+++0 sinx= (2n-01+: 所以血=1-号+++ -+..② x 3!5! (2n-1) 比较0②式中的系数，得：-1=-L+1+1」 到+空+京+++小 所以++…++ 1 6 例2.己知函数f(x)=x2+lnx-ax. (1)求函数f(x)的单调区间： 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 金学利网 学科网原到，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 (2)若f(x)2r2,对x∈[0，+o)恒成立，求实数a的取值范围； (3)当a=1时，设g(x=xe-x-1.若正实数元，入满足2+22=1，X,32∈(0，+∞)(x≠x), 证明：g(元x+元2x)<1g(x)+1g(x) 【解新】解：(f)=2x+-a=2-a+1, x>0,△=a2-8, ①a2V2时，f"(x)0恒成立， 故函数f(x)在(0，+o)递增，无递减区间， ②a>2N5时，fw>030<r<0--8或>a+F-8 4 故函数在0.a=云-8.A+8.十四递塔，在-F8.a+厅- )递减， 4 4 4 综上，a2√2时，函数f(x)在(0，+0)递增，无递减区间， a>25时，函数在0，--8，+后-8，+递w,在--8，a+-8)递减， 4 4 4 (2)f(x)2x2，对xe[0,+o)恒成立， 即x∈0，