压轴题秘籍03 线段最值问题-备战2023年中考数学抢分秘籍（全国通用）

线段最值问题 题型解读： 线段最值问题在中考中常常以选择题和填空题的形式出现，分值较小但难度较高.此类题型多综合考查垂线段最短、"将军饮马"及旋转最值问题，一般要用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、勾股定理和二次函数等相关知识，以及数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想. 此类题型常涉及以下问题：①线段和差最值问题；②尺规作图问题；③旋转“费马点”问题；④点到直线的距离最值问题等.右图为线段最值问题中各题型的考查热度. 题型1：垂线段最短问题 解题模板： 垂线段最短模型： 1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（　　） A． B． C．3 D．4 【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4， ∴BC＝＝5， ∵DM⊥AB，DN⊥AC， ∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°， ∴四边形DMAN是矩形， ∴MN＝AD， ∴当AD⊥BC时，AD的值最小， 此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD， ∴AD＝， ∴MN的最小值为； 故选：A． 【点评】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，点E是AB上任意一点．若CD＝5，则DE的最小值等于（　　） A．2.5 B．4 C．5 D．10 【分析】根据角平分线的性质即可得到即可， 【解答】解：当DE⊥AB时，DE的值最小， ∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，CD＝5， ∴DE的最小值＝CD＝5， 故选：C． 【点评】本题考查的是角平分线性质，关键是知道垂线段最短，本题比较典型，难度适中． 【变式1-2】（2021•临淄区一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为（　　） A．2 B．3 C． D． 【分析】以BD为对称轴作N的对称点N'，连接MN′并延长交BD于P，连NP，依据PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，可得当P，M，N'三点共线时，取“＝”，再求得＝＝，即可得出PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，再根据△N'CM为等腰直角三角形，即可得到CM＝MN'＝2． 【解答】解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N'，连接MN′并延长交BD于P，连NP， 根据轴对称性质可知，PN＝PN'， ∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'， 当P，M，N'三点共线时，取“＝”， ∵正方形边长为8， ∴AC＝AB＝8， ∵O为AC中点， ∴AO＝OC＝4， ∵N为OA中点， ∴ON＝2， ∴ON'＝CN'＝2， ∴AN'＝6， ∵BM＝6， ∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2， ∴＝＝， ∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°， ∵∠N'CM＝45°， ∴△N'CM为等腰直角三角形， ∴CM＝MN'＝2， 即PM﹣PN的最大值为2， 故选：A． 【点评】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 题型2：将军饮马问题 解题模板： 技巧精讲： 1、“将军饮马”模型 2、线段差最大值问题模型： 2.（2021•娄底模拟）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则AP+EP的最小值是（　　） A．2 B．4 C． D．2 【分析】连接CP，当点E，P，C在同一条直线上时，AP+PE的最小值为CE的长，根据勾股定理计算即可． 【解答】解：如图，连接CP， 在△ADP与△CDP中， ， ∴△ADP≌△CDP（SAS）， ∴AP＝CP， ∴AP+PE＝CP+PE， 当点E，P，C在同一条直线上时，AP+PE的最小值为CE的长， ∴连接CE交BD于P'， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝AB＝4，∠ADC＝90°， ∵E是AD的中点， ∴ED＝2， 在Rt△CDE中，由勾股定理得： CE＝＝＝2， 故选：D． 【点评】本题考查了轴对称，中点路线问题，根据题意作出A关于BD的对称点C是解此题的关键． 【变式2-1】（2022•德州）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在BC上，CE＝2．点M是对角线BD上的一个动点，则EM+CM的最小值是（