北京市石景山区2023届高三一模数学试题

2023年北京市石景山区高三一模数学试卷 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的离心率是2，则（ ） A. 12 B. C. D. 4. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ） A. B. C. D. 5. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知数列满足：对任意的，都有，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的部分图象如图所示，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）与燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到．若要使火箭的最大速度达到，则燃料质量与火箭质量的比值应为（ ） A. B. C. D. 9. 已知直线:被圆:所截得的弦长为整数，则满足条件的直线有（ ） A. 6条 B. 7条 C. 8条 D. 9条 10. 已知正方体的棱长为2，点为正方形所在平面内一动点，给出下列三个命题： ①若点总满足，则动点的轨迹是一条直线； ②若点到直线与到平面的距离相等，则动点的轨迹是抛物线； ③若点到直线的距离与到点的距离之和为2，则动点的轨迹是椭圆. 其中正确命题个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 向量，，若，则_________. 12. 抛物线：的焦点坐标为_________，若抛物线上一点的纵坐标为2，则点到抛物线焦点的距离为_________. 13. 若的展开式中含有常数项，则正整数的一个取值为_________. 14. 设函数，①若，则的最大值为_________；②若无最大值，则实数的取值范围是_________. 15. 项数为的有限数列的各项均不小于的整数，满足，其中.给出下列四个结论： ①若，则； ②若，则满足条件的数列有4个； ③存在的数列； ④所有满足条件的数列中，首项相同. 其中所有正确结论的序号是_________. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在中，，，点在边上，. （1）求的长； （2）若的面积为，求的长. 17. 某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表. 株高增量（单位：厘米） 第1组鸡冠花株数 9 20 9 2 第2组鸡冠花株数 4 16 16 4 第3组鸡冠花株数 13 12 13 2 假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立. （1）从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为厘米的概率； （2）分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量为厘米，求的分布列和数学期望； （3）用“”表示第组鸡冠花的株高增量为，“”表示第组鸡冠花的株高增量为厘米，，直接写出方差，，的大小关系.（结论不要求证明） 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面为等腰直角三角形，且，点为棱上的点，平面与棱交于点. （1）求证：； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面与平面所成锐二面角的大小. 条件①：； 条件②：平面平面； 条件③： 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 19. 已知椭圆:过点，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点且互相垂直直线,分别交椭圆于,两点及两点.求的取值范围. 20. 已知函数. （1）当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求证：，. （2）若在上恰有一个极值点，求的取值范围. 21. 若无穷数列满足以下两个条件，则称该数列为数列. ①，当时，； ②若存在某一项，则存在，使得（且）. （1）若，写出所有数列的前四项； （2）若，判断数列是否为等差数列，请说明理由； （3）在所有的数