2.2 空间向量及其运算-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（湘教版2019）

学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2.2空间向量及其运算 知识探究·素养启迪 )知识探究 1.空间向量的基本概念 (1)空间向量. 我们把空间中既有大小又有方向的量称为空间向量 (2)空间向量的模。 空间向量a的大小（或长度）称为a的模，记为al. (3)空间向量的表示。 要表示空间向量a,可以从空间中任意一点A出发作有向线段AB,使 AB的方向与a相同，长度与a相等，则有向线段AB表示向量a,记作 aAB.通常把A称为向量AB的起点，B称为向量AB的终点.AB也表示 从A到B的位移. (4)相等向量. 从不同点出发的向量，只要它们的方向相同且长度相等，就称它们为 相等向量。 (⑤)相反向量. 方向相反、长度相等的向量称为相反向量 (6)零向量. 零向量的大小a=0,用长度为0的有向线段AA表示，记为0.零向量 所表示的位移的起点与终点重合，即保持起点不动： 零向量的方向可以是任意的 ·独家授权侵权必究· 品牌书店·知名教辅·正版资源 学科网书城 趣身边的互联网+教辅专家 (7)单位向量。 长度为1的向量称为单位向量。对于每个非零向量a，可得到与它方向 相同的唯一单位向量e向a。 (8)平行向量。 对于空间任意两个向量a，b(a≠0)，若b=λa，其中λ为实数，则b与a 共线或平行，记作b∥a。 零向量的方向可以任取，又0=0a，则0是任意向量a的0倍，因此零向 量与任意向量共线． 2.空间向量的加减法 (1)定义。 如图，对于空间任意两个向量a，b，作oA=a，OB=b，AC=b，则a+b=oc a-b=BA B、C 7 __ (2)运算律。 a+b=b+a。(加法交换律） (a+b)+c=a+(b+c)。(加法结合律) 3.向量与实数相乘 (1)定义。 │λa|=|λ||a|． 当λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反。 ________独家授权侵权必究___ 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)运算律. 入(a+b)=入a+入b.(对向量加法的分配律) (入1+入2)a=入1a+入2a.(对实数加法的分配律) 4.向量的数量积 (1)向量的夹角. 如图，由于空间任意两个向量a,b都可以平移到同一个平面OAB内，因 此与平面向量夹角的定义一样，我们把∠AOB称为向量a,b的夹角，记 作<a,b>,其取值范围为[0，r]. (2)数量积的定义. 定义a·b=a bcos<a,b>为a与b的数量积 当a,b都不为0时，它们有确定的夹角<a,b>∈[0，元]. 当a=0或b0时，夹角<a,b>可以在[0r]中任意选定，但总有a· b-0. (3)数量积的性质. a·a=a2,al√aa, a·b-0台a⊥b. (4)夹角余弦公式。 对于两个非零向量a,b,由ab=lab·cos<a,b>得cos<a,b>品. (5)数量积的运算律. ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 量b.2 xxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 (λa)·b=入(a·b),入∈R. a·bb·a.(交换律) a·(b+c)=a·b+a·c.(分配律) (6)向量的投影与数量积的几何意义. ①投影向量， 如图，将空间任意两个向量a,b平移到同一个平面内，可得OAa,OB =b,<a,b>a.过点B作BB1⊥OA,垂足为点B1,则OB1为OB在OA方向 上的投影向量，投影向量的模OB1=OBcos a|称为投影长。 b 0 B aA ②投影. 取OA方向上的单位向量e来度量投影向量OB1,类比平面向量，可得 OB,=(lOBIcos a)e, 因而可用OB cos a来代表投影向量OB1.我们称OB cos a为OB 在OA方向上的投影，其正负表示OB1与OA方向相同还是相反. ③数量积的几何意义， a与b的数量积等于a的模a与b在a方向上的 投影bcos a的乘积，也等于b的模|b与a在b方向上的投影 acos a的乘积. 公小试身手 1.下列命题中正确的个数是(C) ·独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 量b2 xxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ①如果a,b是两个单位向量，则a=b: ②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同： ③若a,b,c为非零向量，且a∥b,b∥c,则a∥c; ④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内. A.1B.2C.3D.4 2.(2021·山东济宁高二期末)在空间四边形ABCD中，DAa,DBb, DC=c,且DMMA,BN-2NC,则MN等于(C) A.ab号cB.a+号b+c C.a+b+号cD.-a+b+c 3.在空