2.2 第二课时 向量的数量积-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

第二课时　向量的数量积 [学习目标]　1.理解空间两个向量夹角的定义.2.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律，会求空间向量的数量积.3.能够运用空间向量的数量积解决夹角与距离问题． 知识点一　空间向量的夹角 [问题导引1]　平面内的两个向量a与b，它们的夹角是如何定义的？范围是多少？这个定义适用于空间向量吗？ 提示：　把向量转化为共起点的向量形成的夹角；范围：[0，π]；适用． [问题导引2]　平面内的两个非零向量a与b，它们的数量积是如何定义的？这个定义适用于空间向量吗？ 提示：　a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；适用． 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：[0，π]. 学生用书第48页 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b； 如果〈a，b〉＝0，那么向量a，b同向共线； 如果〈a，b〉＝π，那么向量a，b反向共线． 若a∥b，则〈a，b〉＝0或π. 点拨：　两个非零向量a，b夹角的范围为[0，π]，当a＝0或b＝0时，夹角〈a，b〉可以在[0，π]中任意选定，所以任意两个向量的夹角范围为[0，π]． 2．空间向量的数量积及其性质 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 规定：零向量与任何向量的数量积都为0 性质 若a，b是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ为a与e的夹角，则： (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)若a与b同向，则a·b＝|a||b|；若a与b反向，则a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)若θ为a与b的夹角．则cos θ＝. (5)|a·b|≤|a||b| 运算律 (1)(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. (2)a·b＝b·a(交换律)． (3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律) 点拨：　(1)向量a，b的数量积记为a·b.而不能表示为a×b或ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定：当θ为锐角时，a·b>0，但当a·b>0时， θ也可能为0；当θ为钝角时．a·b<0，但当a·b<0时，θ也可能为π. (3)当θ≠0时， a·b＝0不能推出b一定是零向量，这是因为对于任意一个与a垂直的非零向量b.都有a·b＝0. (4)向量数量积的运算不满足消去律，即a·b＝b·c推不出a＝c. (5)向量数量积的运算不满足结合律，即(a·b)·c不一定等于a(b·c)． (6)向量数量积的运算不满足除法，即对于向量a·b，若a·b＝k，不能得到a＝(或b＝)．例如，当非零向量a·b垂直时，a·b＝0，但a＝显然是不正确的． 角度一　利用空间向量数量积的运算解决问题 已知向量a，b之间的夹角为30°，且|a|＝3，|b|＝4，求a·b，a2，b2，(a＋2b)·(a－b)． 解析：　a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×4×cos 30°＝6，a2＝a·a＝|a|2＝9，b2＝b·b＝|b|2＝16. (a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝9＋6－32＝6－23. 有关向量数量积的运算应注意的问题 (1)要与数乘运算区分开，数乘运算的结果仍是向量，向量的数量积为实数． (2)书写规范：不能写成a×b，也不能写成ab. (3)向量数量积运算不满足结合律，也不满足消去律． (4)向量数量积与实数运算有很多是相同的，如平方差公式、完全平方公式、多项式展开法则等，但也有很多区别，要注意总结．　　 即时练1.已知三棱锥O­ABC的各个侧面都是等边三角形，且棱长为2，点M，N，P分别为AB，BC，CA的中点．试求： (1)·；(2)·； (3)·；(4)·. 解析：　(1)·＝||||cos〈，〉 ＝||||cos∠AOB＝2×2×cos 60°＝2. (2)· ＝||||cos〈，〉 ＝||||cos 180°＝1×2×(－1)＝－2. (3)·＝·(－) ＝·－· ＝2×2×cos∠BOC－2×2×cos∠BOA＝0. (4)·＝· ＝·＝·(－) ＝(2－·)＝×(22－2)＝1. 学生用书第49页 角度二　利用空间向量数量积求距离、角度 如图，长方体ABCD­A1B1C1D1的棱长AB＝4，AD＝2，AA1＝2. (1)求||； (2)求与所夹角θ的余弦值． 解析：　设＝a，＝b，＝c，则 |a|＝4，|b|＝2，|c|＝2， ＝＋＋＝a＋b＋c， ＝－＝b－a. (1)因为||2＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c) ＝(a＋b)·(a＋b)＋