2.3.1.2 空间向量基本定理-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （湘教版2019）

第2课时　空间向量基本定理 [学习目标]　1.理解空间向量基本定理.2.能用空间向量基本定理解决有关几何问题． 导语 音乐是人们休闲娱乐的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉．事实上，音乐有基本音符Do Re Mi Fa So La Si，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此．在各种各样的空间向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？ 一、空间向量基本定理 问题1　如图，设e1，e2，e3是空间中任意三个不共面的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝，能否用e1，e2，e3表示呢？ 提示　如图，e1，e2所确定的平面为α，过点P作直线PQ∥e3，交平面α于点Q，则＝ze3对某个实数z成立， 连接OQ，则OQ在平面α内，因而＝xe1＋ye2对唯一有序实数组(x，y)成立． 从而＝＋＝xe1＋ye2＋ze3. 问题2　你能证明问题1中结论的唯一性吗？ 提示　假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x′，y′，z′)，使得p＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x′e1＋y′e2＋z′e3＝xe1＋ye2＋ze3. 不妨设x′≠x，则(x′－x)e1＝(y－y′)e2＋(z－z′)e3. 两边同除以(x′－x)，得e1＝e2＋e3. 由平面向量基本定理可知，e1，e2，e3共面，这与已知矛盾．因此x＝x′，同理可证y＝y′，z＝z′，所以有序实数组(x，y，z)是唯一的． 知识梳理 1．空间向量基本定理 设e1，e2，e3是空间中三个不共面向量，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和：p＝xe1＋ye2＋ze3，上述表达式中的系数x，y，z由p唯一确定，即若p＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′. 2．基与基向量 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示．我们把{e1，e2，e3}称为空间的一组基，e1，e2，e3叫作基向量．(x，y，z)称为向量p＝xe1＋ye2＋ze3在基{e1，e2，e3}下的坐标． 注意点： (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基．基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示；不同基下，同一向量的表达式也有可能不同． (2)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量． 例1　已知{e1，e2，e3}是空间的一组基，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一组基． 解　假设，，共面， 则存在实数λ，μ使得＝λ＋μ， ∴e1＋2e2－e3 ＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3) ＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3. ∵e1，e2，e3不共面， ∴此方程组无解， ∴，，不共面， ∴{，，}可以作为空间的一组基． 反思感悟　判断基的一般方法 (1)判断一组向量能否作为空间的一组基，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则能构成一组基． (2)判断基时，有时依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基向量，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 跟踪训练1　(多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一组基，则下列向量组中，可以作为空间的一组基的有(　　) A．{a，b，x} B．{x，y，z} C．{b，c，z} D．{x，y，a＋b＋c} 答案　BCD 解析　如图所示，令a＝，b＝，c＝， 则x＝，y＝，z＝， a＋b＋c＝，由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故B，C，D都可以作为空间的一组基． 二、用基表示空间向量 例2　如图，四棱锥P－OABC的底面为矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示，，，，并分别指出它们在这组基下的坐标． 解　连接BO，如图所示， 则＝＝(＋)＝(－b－a＋c)＝－a－b＋c，在基{a，b，c}下的坐标为. ＝＋＝－a＋＝－a＋(＋)＝－a－b＋c，在基{a，b，c}下的坐标为. ＝＋＝＋＋(＋)＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c，在基{a，b，c}下的坐标为. ＝＝＝a，在基{a，b，c}下的坐标为. 反思感悟　用基表示向量的方法 (1)若基确定，要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，向量减法的定义以及向量数乘运算的运算律． (2)若未给定基，首先选择基，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求． 跟踪训练2　在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点． (1)用向量a，b，c表示，； (2)若＝xa＋yb＋zc，求在基{a，b，c}下的坐标． 解　(1)如图，连接AC，EF，D1F，BD1， ＝＋ ＝－＋－ ＝a－b－c， ＝＋＝＋ ＝－(＋)＋(＋) ＝－＝a－c. (2)＝(＋) ＝(－＋) ＝(－c＋a－b－c) ＝a－b－c ＝xa＋yb＋zc， ∴x＝，y＝－，z＝－1. ∴在基{a，b，c}下的坐标为. 三、空间向量基本定理的应用 例3　如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基向量证明： (1)EG∥AC； (2)平面EFG∥平面AB′C. 证明　取基{，，}， (1)因为＝＋＝＋， ＝＋＝2， 所以∥， 又EG，AC无公共点，所以EG∥AC. (2)因为＝＋＝＋， ＝＋＝2， 所以∥， 又FG，AB′无公共点，所以FG∥AB′. 又FG⊄平面AB′C，AB′⊂平面AB′C， 所以FG∥平面AB′C. 又由(1)知EG∥AC，同理可得EG∥平面AB′C， 又FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG， 所以平面EFG∥平面AB′C. 反思感悟　(1)合理选择基向量，使其能方便地表示有关向量，并能进行运算，特别是数量积运算． (2)利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量，并用基向量来表示未知向量，然后通过向量的运算和垂直条件来完成位置关系的判定． (3)证明直线与直线平行一般转化为向量共线问题，利用向量共线的充要条件证明． 跟踪训练3　如图所示，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.求证：BD⊥平面ADC. 证明　设AD＝BD＝CD＝1， 则AB＝AC＝. 取基{，，}，〈，〉＝〈，〉＝45°，〈，〉＝60°， 因为·＝(－)·＝·－·， 又·＝||||cos 45°＝1××＝1， ·＝||||cos 60°＝××＝1. 所以·＝0，即BD⊥AC. 又因为BD⊥AD，AC∩AD＝A，AC，AD⊂平面ADC， 所以BD⊥平面ADC. 1．知识清单： (1)空间向量基本定理． (2)用基表示空间向量． (3)空间向量基本定理的应用． 2．方法归纳：转化化归． 3．常见误区： (1)基向量理解错误，没有注意到基向量的条件． (2)运算错误，利用基表示向量时计算要细心． 1．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一组基，则p是q的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　B 解析　当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以作为空间的一组基，否则不能作为空间的一组基，当{a，b，c}为空间的一组基时，一定有a，b，c为非零向量．因此p⇏/q，q⇒p，故p是q的必要而不充分条件． 2．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间的一组基的是(　　) A. B. C. D.或 答案　C 解析　∵＝(a－b)， ∴与a，b共面， ∴a，b，不能构成空间的一组基． 3.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一点，设＝a，＝b，＝c，则向量可用a，b，c表示为(　　) A．a－b＋2c B．a－b－2c C．－a＋b＋c D.a－b＋c 答案　D 解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝a－b＋c. 4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取为基，若点G为平面BCC1B1的中心，且＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________. 答案　2 解析　如图，＝＋ ＝＋ ＝＋ ＝＋＋ ＝x＋y＋z. 所以x＝1，y＝，z＝. 则x＋y＋z＝1＋＋＝2. 1．设向量a，b，c不共面，则下列向量组可作为空间的一组基的是(　　) A．{a－2b,3a－b,0} B．{a，b，a＋b} C．{3a＋b，a＋b，c} D．{a＋b＋c，a＋b，c} 答案　C 解析　A中由于0与任意两个向量共面，不能作为一组基； B中a，b，a＋b三向量共面，不能作为一组基； D中a＋b＋c＝(a＋b)＋c，故三向量共面，不能作为一组基． 2．在正四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则用a，b，c表示为(　　) A.＝a＋b＋c B.＝a＋b＋c C.＝a＋b＋c D.＝a＋b＋c 答案　D 解析　＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋－)＝＋＋＝a＋b＋c. 3．{a，b，c}为空间的一组基，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z的值分别为(　　) A．0,0,1 B．0,0,0 C．1,0,1 D．0,1,0 答案　B 解析　若x，y，z中存在一个不为0的数， 不妨设x≠0，则a＝－b－c， 即a，b，c共面，这与{a，b，c}是基矛盾， 故x＝y＝z＝0. 4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为A1C1的中点，若＝＋x＋y(x，y∈R)，则x，y的值分别为(　　) A．1,1 B．1， C.， D.，1 答案　C 解析　＝(＋) ＝(＋＋＋) ＝＋＋ ＝＋x＋y， 所以x＝，y＝. 5.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是DD1的中点，N是A1B1的中点，则直线ON与AM的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法判断 答案　B 解析　因为＝＋， ＝＋＋ ＝－(＋)＋＋ ＝－＋， 设||＝a， 则· ＝· ＝－||2＋·－·＋||2＝－a2＋a2＝0， 故⊥，即ON⊥AM. 6．(多选)给出下列命题，其中是真命题的是(　　) A．若{a，b，c}可以作为空间的一组基，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一组基 B．已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一组基 C．已知A，B，M，N是空间中的四点，若{，，}不能构成空间的一组基，则A，B，M，N四点共面 D．若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一组基 答案　ABC 解析　A中，假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc，∵d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，∴c与a，b共面，与已知条件矛盾，∴d与a，b不共面，即A中命题是真命题； B中，根据基的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一组基，显然B中命题是真命题； C中，由，，有公共点B，∴A，B，M，N四点共面，即C中命题是真命题； D中，∵a，b，c共面，∴{a，b，c}不能构成空间的一组基，故D中命题是假命题． 7.如图，点M为OA的中点，{，，}为空间的一组基，＝x＋y＋z，则有序实数组(x，y，z)＝________. 答案　 解析　＝－＝－＝x＋y＋z，所以有序实数组(x，y，z)＝. 8．已知空间的一组基{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋2c.若向量m与n共线，则x＝________，y＝________. 答案　2　－2 解析　因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn， 即a－b＋c＝λ(xa＋yb＋2c)＝λxa＋λyb＋2λc. 所以解得 9．已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c. (1)用a，b，c表示向量，并指出它在这组基下的坐标； (2)设G，H分别是侧面BB′C′C和底面O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示，并指出它在这组基下的坐标． 解　(1)＝＋＝－＋＝－a＋b＋c，在基{a，b，c}下的坐标为(－1,1,1)． (2)＝＋＝－＋ ＝－(＋)＋(＋) ＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c)＝－b＋c，在基{a，b，c}下的坐标为. 10.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，PA＝4，∠ABC＝60°，E是BC的中点，H在线段PD上且DH＝DP. (1)用向量，，表示向量； (2)求向量的模． 解　(1)＝＋ ＝＋＋ ＝－＋(－)＋(－) ＝－＋－＋－ ＝＋－. (2)||2＝2 ＝(＋)2－(＋)·＋||2 ＝(||2＋||2)－·＋||2 ＝×(4＋16)－×2×2×＋4 ＝， 所以||＝. 11．若a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若e1，e2，e3不共面，当d＝αa＋βb＋γc时，α＋β＋γ等于(　　) A．3 B．5 C．7 D．9 答案　A 解析　由已知得，d＝αa＋βb＋γc＝α(e1＋e2)＋β(e2＋e3)＋γ(e1＋e3)＝(α＋γ)e1＋(α＋β)e2＋(β＋γ)e3＝e1＋2e2＋3e3. 所以 故有α＋β＋γ＝3. 12．设O－ABC是正三棱锥，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则x＋y＋z等于(　　) A. B. C. D．1 答案　C 解析　如图所示，连接AG1并延长交BC于点D， 因为G1为△ABC的重心， 则点D为BC的中点， ＝， 而＝(＋)， ＝＋＝＋ ＝＋(－)＝＋ ＝＋×(＋) ＝＋＋， 所以＝＝ ＝＋＋ ＝x＋y＋z， 所以x＝y＝z＝，因此x＋y＋z＝. 13．(多选)在三棱锥P－ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2，则下列说法正确的是(　　) A．EG⊥PG B．EG⊥BC C．FG∥BC D．FG⊥EF 答案　ABD 解析　设＝a，＝b，＝c， 则{a，b，c}是空间的一组基，a·b＝a·c＝b·c＝0，取AB的中点H，连接PH(图略)， 则＝＝×(a＋b)＝a＋b， ＝－＝c－b， ＝＋＝＋＝b＋(c－b)＝b＋c， ＝－＝a＋b－b－c ＝a－b－c， ＝－＝a＋b－b＝a， ＝－＝b－＝－b－c， 所以·＝0，即EG⊥PG，A正确； ·＝0，即EG⊥BC，B正确； ≠λ(λ∈R)，即FG与BC不平行，C不正确； ·＝0，即FG⊥EF，D正确． 14．已知空间向量，，的模长分别为1,2,3，且两两夹角均为60°.点G为△ABC的重心，若＝x＋y＋z，x，y，z∈R，则x＋y＋z＝________，||＝________. 答案　1　 解析　如图所示，取AC的中点D，连接BD，PD， ＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝＋ ＝＋＋ ＝x＋y＋z， 所以x＝，y＝，z＝，x＋y＋z＝1. 由于空间向量，，的模长分别为1,2,3，且两两夹角均为60°， 所以||＝ ＝ ＝ ＝× ＝. 15．定义向量p在基{a，b，c}下的坐标如下：若p＝xa＋yb＋zc，则(x，y，z)叫作p在基{a，b，c}下的坐标．已知向量p在基{a，b，c}下的坐标为(2,1，－1)，则p在基{a＋b，a－b，c}下的坐标为________，在基{2a，b，－c}下的坐标为________． 答案　　(1,1,1) 解析　由条件知p＝2a＋b－c. 设p在基{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x1，y1，z1)，则p＝x1(a＋b)＋y1(a－b)＋z1c＝(x1＋y1)a＋(x1－y1)b＋z1c， ∵a，b，c不共面， ∴∴ 即p在基{2a＋b，a－b，c}下的坐标为， 设p在基{2a，b，－c}下的坐标为(x2，y2，z2)，则p＝2x2a＋y2b－z2c，∵a，b，c不共面， ∴解得 即p在基{2a，b，－c}下的坐标为(1,1,1)． 16.如图，在三棱锥P－ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m，＝n，＝t，求证：＋＋为定值，并求出该定值． 解　连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略)． 由题意，可令{，，}为空间的一组基， ＝＝(＋)＝＋× ＝＋×(＋)＝＋(－)＋(－)＝＋＋. ∵点D，E，F，M共面， ∴存在实数λ，μ使得＝λ＋μ， 即－＝λ(－)＋μ(－)， ∴＝(1－λ－μ)＋λ＋μ＝(1－λ－μ)m＋λn＋μt， 由空间向量基本定理， 知＝(1－λ－μ)m，＝λn，＝μt， ∴＋＋＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4，为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $$