第16讲 复数的三角形式-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（苏教版2019必修第二册）

令学利科购 学科网原创，让学司更会易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 第16讲 复数的三角形式 目标导航 课程标准 课标解读 通过复数的几何意义，了解复数的三角表 示，了解复数的代数形式与三角表示之间 1.了解复数的三角形式的概念： 的关系，了解复数乘、除运算的三角表示 2.了解复数三角形式的乘除法。 及其几何意义 知识精讲 型知识点01 复数的三角形式的概念 1复数的辐角 (I)定义：以x轴的 轴为始边、向量OZ所在的 (起点是原点O)为终边的角e叫 作复数2=a+bi的辐角。 (2)辐角主值 [0,2)内的辐角0的值叫作复数za+b的 记作 即(0上ag≤2π)，非零复数 与它的模和 ·一对应 (③)常用的有关辐角主值的结论 当a∈R时， ； arg (-a)= a8(ai）= arg (-ai) ag0可以是[0,2m)中的任一角 2复数相等：两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与 分别相等 3复数的三角形式 复数=a+bi可以用复数的模r和辐角0来表示：= 其中r=Va2+b,cos0=a sin0' (cos0+isin0)叫作复数z的 而a+bi叫作复数z的代数形式， 【即学即练1】若a<0,则a的三角形式为() 1 ©原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利科购 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 A.a(cos0+isin0) B.acosπ+isinπ】 C. -a(c0sπ+isinπ D.-a(cosπ-isinπ 知识点02 复数的三角形式的乘除法 1复数的乘法与乘方 把复数，2分别写成三角形式1=(cos01+sin0),22=n(cos02+isn02),则2[n(cos0+i161】[r(cos02 +isin 02)] 这就是说，两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和 上面的结果可以推广到n个复数相乘： zz2a3…2n=[i(cos0+isin6,[(cos02+isin02小.(cos0n+isin0.月 =r5…rcos(0,+02+…+0n+isin(0,+02+…+0n月 因此，如果片=53=…=广。=r；61=02=…=0。=0, 就有[rcos0+isin0=r(cosn0+isinn0neN' 这就是说，复数的nn∈N)次幂的模等于这个复数的模的n次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的 倍 2复数的除法 设-n(cos0+isn0),22n(cos02+isn02),则a除以z2的商 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于 被除数的辐角 除数的辐角所得的 【即学即练2】复数z=cos25”+isin25)(cos50'+isin50)的三角形式是() A.cos-25）+isin-25】 B.sin75°+icos75 C.cos15+isin15 D.cos 75+isin 75" 能力拓展 考法01复数的三角表示 【典例1】棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗(1667一1754年)创立.指的是设两个复数（用三角函数形式 表示)名=r(cos8+isin0,),3=5(c0s0,+isin0,),则z32=r5[cos(8+0,)+isin(0+0,)].已知名的辐 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利科购 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 角主值为云马的辐角主值为了利用隙爽弗定理霸测，的辐角。并证明。 考法2复数乘除法的三角表示 【典例2】在复平面内，点A对应的复数是√3+i,向量OA绕着点O按逆时针方向旋转120°得到向量OC. (1)求点C对应的复数。： (2)已知点B对应的复数z满足：-z=1,且(CB,0C)=120°，求复数： 分层提分 题组A基础过关练 1.欧拉公式e=cosx+isir建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结 论：①em+1=0:( ② cos+isin +isin 2元 9+isin 9π cos- cos =i.下列说法正确的是() 10 0 10 10 10 0 A.①②均正确 B.①②均错误 C.①对②错 D.①错②对 2.设函数：=2+√3i,那么arg2是() A. B. 3 D.- 3 3.复数：=-4i化成三角形式，正确的是() A.4 cos 3π 3+isin3 2 B.-4co 3π D.-4cos 3π C.4 cos- 2 4.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(L,2),则，？=() A.1+2i B.-2+i C.1-2i D.-1-i 5.写出一个arg2=严的复数 6 6.将复数一2表示成