选修 矩阵 第四讲 矩阵特征值特征向量经典例题串讲 课件--名师微课堂（自制）

讲师：张芙华 矩阵特征值特征向量经典例题串讲 知识要点 矩阵 几种常见平面变换 逆矩阵 逆变换 矩阵 应用 特征值 特征向量 二阶矩阵与向量 关系 变换复合 矩阵乘法 3 特征值与特征向量 4 　　3．有了特征值和特征向量的知识，我们就可以方便地计算多次变换的结果. 　　如果向量α是属于λ的特征向量，将它乘以非零实数t后所得的新向量tα与向量α共线，故tα也是属于λ的特征向量． 　　设α1和α2是矩阵M的两个特征向量且β = mα1+ nα2，则Mnβ=m(λ1nα1)+n(λ2nα2)． 5 典题剖析 技巧传播 陷阱规避 解题时需要注意以下几点： 1．公式错用； 2．计算基本功． 是一个二阶矩阵，则 ，称为A的特征值多项式． 命题题源二 　　求矩阵的属于特征值－1的一个特征向量． 【解析】f (λ)＝＝(λ－1)(λ－2)＋2＝λ 2－3λ＋4． 【解析】因为A－1A＝E，所以A＝(A－1)－1. 因为A－1＝，所以A＝(A－1)－1＝， 于是矩阵A的特征多项式为f (λ)＝＝λ2－3λ－4， 令f (λ)＝0，解得A的特征值λ1＝－1，λ2＝4． 【解析】（1）由＝，得2－2a＝－4a＝3． （2）由（1）知M＝，则矩阵M的特征多项式为f (λ)＝＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4． 令f (λ)＝0，得矩阵M的特征值为－1与4， 当λ＝－1时，，x＋y＝0，∴矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为； 当λ＝4时，，2x－3y＝0，∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为． 【解析】矩阵M的特征多项式为f (λ)＝＝λ2－2λ－3． 令f (λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得对应的一个特征向量分别为α1＝，α2＝． 令β＝mα1＋nα2，则m＝4，n＝－3， M5β＝M5(4α1－3α2)＝4(M5α1)－3(M5α2)＝4(λα1)－3(λα2)＝4×35－3×(－1)5＝． 【解析】由矩阵A属于特征值3的一个特征向量为α1＝，可得＝3，即， 由矩阵A属于特征值2的一个特征向量为α2＝，可得＝(－1)， 即，解得，即矩阵A＝． 例6．设矩阵M＝（其中a > 0，b > 0）． （1）若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M －1； （2）若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：，求a、b的值． 【解析】（1）设矩阵M