11.2 平面的基本事实与推论-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册同步全程学习全书word（人教B版）

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 11.2平面的基本事实与推论 学习目标 1.通过平面画法的学习，掌握平面的画法及表示方法，培养直观想象 的数学核心素养。 2.通过长方体学习平面的基本事实及推论，能用图形、文字、符号三 种语言描述平面的基本事实，并能解决空间线面的位置关系问题，培 养逻辑推理的数学核心素养。 知识梳理·自主探究 )知识探究 1.基本事实 基 本 文字语言 图形语言 符号语言 作用 事 实 基 ①确定平 A,B,C3点不共 本 经过不在一条直线上 面的依 线→存在唯一的 事 的3个点，有且只有一 据； 平面a使A,B,C 实 个平面 ②判定点 ∈a 1 线共面 基 如果一条直线上的两 A∈a,B∈a→ ①确定直 本 个点在一个平面内， 直线ABca 线在平面 ·独家授权侵权必究· 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 事 那么这条直线在这个 内的依 实 平面内 据； 2 ②判定点 在平面 内； ③判断一 个面是否 是平面 基 ①判定两 如果两个不重合的平 本 A∈a,且A∈B 平面相交 面有一个公共点，那 事 →a∩B=a,且A 的依据； 么它们有且只有一条 实 ∈a ②判定点 过该点的公共直线 3 在直线上 2.推论 推论1：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面. Q拓展总结 (1)基本事实中的“有且只有一个”的含义要准确理解，这里的“有” 是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，强调的是存在和唯一两个 方面，因此“有且只有一个”必须完整地使用，不能仅用“只有一个” 来代替，否则就没有表达出存在性.“确定一个平面”中的“确定”是 ·独家授权侵权必究： 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 量b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 “有且只有”的同义词，也是指存在性和唯一性这两个方面，这个术语 今后也会常常出现， (2)一些文字语言与符号语言的转换： ①A∈1：“点A在直线1上”“直线1经过点A”: ②aca:“直线a在平面a内”“平面a经过直线a”; ③a￠a:“直线a在平面a外”： ④a∩B=1:“两平面a与B相交于直线1”“1是平面a与B的交线”； ⑤anb-P:“两直线a,b相交于点P”“P是直线a与直线b的交点” ⑥A∈a:“点A在平面a内”“平面a经过点A” 师生互动·合作探究 ②探究点一 点线共面问题 [例1](1)如图，己知aca,bca,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求证：PQ ca; (2)己知a,b,c,d四条直线两两相交，且不共点，求证：a,b,c,d共面. 证明：(1)因为PQ∥a,所以PQ与a确定一个平面B, 所以直线acB,点P∈B. 因为P∈b,bca,所以P∈a. 又因为aca,P年a, ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 量b.2 xxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 所以a与B重合， 所以PQca. (2)法一若a,b,c三线共点于0，如图所示， 因为O庄d,所以经过d与点0有且只有一个平面a. 因为A,B,C分别是d与a,b,c的交点，所以A,B,C三点在平面a内.由 基本事实2知a,b,c都在平面a内，故a,b,c,d共面， B Q 法二若a,b,c,d无三线共点，如图所示， 因为a∩b=A,所以经过a,b有且仅有一个平面a, 所以B,C∈a.由基本事实2知cca. 同理，dca,从而有a,b,c,d共面. 综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内. Q方法总结 在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明： (1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面 内. (2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平 面内，再证明两个平面重合. ·独家授权侵权必究· 品牌书店·知名教辅·正版资源 学科网书顺 您身边的互联网+教辅专家 [针对训练]如图所示，在正方体ABCD-A_B_2CD_1中 (1)A_1与CC_1是否在同一平面内? (2)点B，C_，D是否在同一平面内? (3)画出平面AC_1与平面BC_1D及平面ACD_1与平面BDC_1的交线 解：(1)在正方体ABCD-AB1CD_1中， 因为AA_1∥CC_1，所以AA_1与CC_1可确定平面AC_， 所以AA_1与CC_1在同一平面内。 (2)因为点B，C1，D不共线，所以点B，C_1，D可确定平面BCD，所以点 B，C_1，D在同一平面内． (3) C 如图，因为AC∩BD=0，D_1C∩DC1=E， 所