9.1 正弦定理与余弦定理-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册同步全程学习全书word（人教B版）

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com☐ 您身边的互联网+教辅专家 第九章 解三角形 9.1正弦定理与余弦定理 9.1.1正弦定理 学习目标 1.通过学习正弦定理的推导过程，掌握正弦定理的内容及其证明方法， 提升逻辑推理的素养。 2.通过学习正弦定理的应用，会判断三角形的形状，能根据正弦定理 确定三角形解的个数，培养数学运算、逻辑推理的素养 知识梳理·自主探究 )知识探究 1.正弦定理 在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即品品。 品 思考1：正弦定理对任意三角形都适合吗？ 答案：都适合 2.△ABC的面积公式 SAABC-absin C-bcsin A=jacsin B. 思考2：正弦定理的基本作用是什么？ 答案：①已知三角形的任意两角及一边，可以求其他边，如a篇： ②己知三角形的任意两边与其中一边的对角，可以求其他角的正弦值， 如sinA号sinB. 独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 3.解三角形 习惯上，我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素，已知三 角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形. 思考3：由方程的思想，用正弦定理解三角形需要多少个已知条件？分 别是哪几个？ 答案：三个，任意两角及一边或任意两边与其中一边的对角. Q拓展总结 (1)根据正弦定理可建立边角关系，角的正弦越大，其所对的边就越长， (2)应用正弦定理得出角的大小时，特别要注意是一个解还是两个解. (③)正弦定理的表示形式：品品。c=2R(R是三角形ABC的外接圆 半径)或a=ksin A,b=ksin E,c=ksin C(k>0). 师生互动·合作探究 )探究点一 己知两角及一边解三角形 [例1]在△ABC中，己知a=18,B-60°，C75°，求A,b的值. 解：根据三角形的内角和定理，得 A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°. 根据正弦定理，得b-18g-96. sinA sin45 。方法总结 已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路： (1)由三角形的内角和定理求出第三个角. (2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边 ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值（这时应注意角的 拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°=45°+30°)，再 根据上述思路求解。 [针对训练](1)在△ABC中，AB-6,A=75°，B=45°，则AC等于() A.43B.2W6C.6V2D.12 (2)在△ABC中，a=5,B=45°，C=105°，求c. (1)解析：根据题意，在△ABC中，A=75°， B-45°， 则由三角形内角和定理得 C-180°-(A+B)=180°-(75°+45°)=60°， 又由正弦定理有品部， 则AC-怒-2√6.故选B. sinC sn60° (2)解：由三角形内角和定理知A+B+C-180°， 所以A=180°-(B+C)=180°-(45°+105°）=30°. 由正弦定理品， 得c=a·器-5X8-5×血60t459 sin30 sn30° =5X血60cos45+cos60an45°_5(V6+V2) sn30° ②探究点二 已知两边及一边的对角解三角形 [例2]在△ABC中，分别根据下列条件解三角形： (1)a=1,bV3,A=30°： (2)aV3,b=1,B120°. ·独家授权侵权必究· 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解：(1)根据正弦定理，得sinB-s4-5n30-具 因为b>a,所以B>A=30°，所以B=60°或120° 当B=60°时，C-180°-(A+B)=180°-(30°+60°)=90°， 所以c器品2： 当B120°时，C=180°-(A+B)=180°-(30°+120°)=30°=A,所以 c=a=l. (②)根据正弦定理可知，sinA3-B120号>1. b 1 因为sinA≤1，所以A不存在，即无解. 。方法总结… 己知三角形两边和其中一边的对角解三角形的基本思路： (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值 (2)如果己知的角为大边所对的角，则由三角形中大边对大角能判断 另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一。 (3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角为锐 角，这时由正弦值求出的角有两个，要分类讨论。 [针对训练]在以下△ABC中，角B的结果各有几种？ (1)b-20,A=60°，a=-20V5: (2)b-20,