第十章 复数 章末总结-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册同步全程学习全书word（人教B版）

品牌书店·知名教辅·正版资源 学科网书城 眼身边的互联网+数轴专家 bxxkcom t 章末总结 网络建构 知识辨析 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打 “×”。 1.方程x^2+1=0没有解。（×_） 2.在复数z=a+bi(a，b∈R)中，虚部为bi。(×) ________独家授权侵权必究_ 学科网书城 品牌书店·知名教捕·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 3.复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离，也等于复数 对应的向量的模.（√） 4.已知复数z的共轭复数z1+2i,则z在复平面内对应的点位于第三 象限.(×) 5.复数中有复数相等的概念，因此复数可以比较大小.（×) 6.若a∈C,则a2≥0.(×) 7.一个复数的实部为0，则此复数必为纯虚数.（×) 题型归纳·素养提升 题型一复数的有关概念 [典例1](2021·河南新乡一模)若与i(a支ai)的虚部互为相反 数，则实数a的值为() A.-2B.2 C.-1D.1 解析：因为》四学=1-1，虚部为1， i(aai)寺atai,虚部为a, 所以a-1=0,即a=1.故选D. [典例2](2021·山东潍坊一模)己知z为复数，1为虚数单位.若复数 杂为纯虚数，则z=( A.2 B.2 c1D.号 解析：设z=a+bi(a,b∈R), 所以复数 at(b-1)i [a(b-1)][a(b+11]24b2-1-2d a2+b+1)2 a+(b叶)2· 因为复数舜为纯虚数，所以a2+b2=1,a≠0. ·独家授权侵权必究· 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以z√母+b2=1.故选C. 。方法总结 形如abi(a,b∈R)的数称为复数，其中a,b分别是它的实部和虚部. 若b-0,则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a=0且b≠0，则a +bi为纯虚数 题型二复数的几何意义 [典例3](1)把复数1+i在复平面内对应的向量按顺时针方向旋转90 。所得到的向量对应的复数是() A.1-iB.-1-i C.-1+i D.1+2i (2②)若复数z帮在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值 范围为 解析：(1)对应的复数为z(1+i)[cos(-90°)+isin(-90°)] =(1+i)(-i)=1-i.故选A. 〔地>0， 2 ②20-四学+学i,所以学<0所以-1m1,放实数口 的取值范围为(1,1). 答案：(1)A (2)(-1,1) Q方法总结 任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)都可以与复平面内一点Z(a,b)对应， 而任一点Z(a,b)又可以与以原点为起点，点Z(a,b)为终点的向量0z *独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教捕·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 对应，这些对应都是一一对应，由此得到复数的几何意义.特别注意 |z,za的几何意义—距离. 题型三复数的运算 [典例4](1)已知复数z=(1+2i)(1+ai)(a∈R),若z∈R,则实数a等 于() A.克B. C.2 D.-2 (②)已知复数z=1+i(1是虚数单位)，则杂等于() A.-1 B.1 C.-i D.i 解析：(1)因为z=(1+2i)(1+ai)=(1-2a)+(a+2)i,又因为z∈R,所以a +2=0,解得a=-2.故选D. (2)因为z=-1+i,所以z2=(-1+i)2=-2i, 则z2+z=-1-i, 所以崇带满1. 故选A. 。方法总结… (1)复数的乘法：类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看 作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可. (2)复数的除法：关键是分子分母同时乘分母的共轭复数，解题时要注 意把i的幂写成最简形式. ·独家授权侵权必究· 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (3)在复数范围内实系数的一元二次方程的求根公式及根与系数的关 系成立. 题型四 复数的辐角 [典例5]满足本∈R,且arg(z+3)买的复数z是否存在？若存在，求 出z;若不存在，请说明理由. 解：假设满足条件的复数z存在，则z≠0，否则arg(z+3)≠买。 设4s=a∈R(a≠0)，所以z=az2+5a, 又设z=x+yi(x,y∈R), x+yi=a(x2-y2+2xyi)+5a, x=ax2-ay2+5a① 由复数相等的定义可得 y=2axy,② 若y=0,则z+3∈R,arg(z+3)≠要. 所以y≠0， 由②得a点，代入①得x=去x2云y2+是， 所以x2+y2=5. 因为arg(z+3)平， 所以本=1. 「x2+y2=5,〔