第九章 解三角形 章末总结-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册同步全程学习全书word（人教B版）

享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 章末总结 网络建构 a b sinA=sinB sin C =2R (R为△ABC外接圆的半径) 常见变式 弦定 已知两角和任一边，求其 他边和角 应用 已知两边及其中一边的对 角，求其他边和角 a2=b2+c2-2bccos A 正、余 余 b2=c2+a2-2cacos B 推论 弦定理 c2=a2+62-2abcos C 理 已知三边求三角 应用 已知两边和它们的夹角， 求第三边和其他角 距离问题 高度问题 应用 角度问题 三角形综合问题 知识辨析 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打 “X”. 1.三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.（×) 2.当b2+c2-a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2+c2-a2-0时，△ABC为直 角三角形；当b2+c2-a2<0时，△ABC为钝角三角形.（×) 3.在△ABC中，若sinA>sinB,则A>B.（√) 题型归纳·素养提升 题型一判断三角形的形状 ·独家授权侵权必究· 享学科网书城 品牌书店·知名教捕·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [典例1]在△ABC中，若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),试判 断△ABC的形状. 解：因为(a2+b2)sin(AB)=(a2b2)sin(A+B), 所以b2[sin(A+B)+sin(A-B)] =a2[sin (A+B)-sin (A-B)], 所以2b2 sin Acos B-2a2 cos Asin E, a2cos Asin B-b2sin Acos B. 法一由正弦定理得， sin 2Acos Asin B=sin 2Bsin Acos B. 又sin Asin B≠O,所以sin Acos A=sin Bcos B, 所以sin2A=sin2B. 在△ABC中，0<2A<2I,0<2B<2T, 所以2A=2B或2A=T2B, 所以A=B或A+B- 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形. 法二由正弦定理、余弦定理，得 a2b·t=b2a·斗2 2bc 2ac 所以a2(（b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), 所以(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, 所以a2-b2-0或a2+b2-c2=0, 即a-b或a2+b2-c2. 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形 ·独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教捕·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 题型二解三角形 [典例2]已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2,cos B是 (1)若b=4,求sinA的值； (2)若S△Bc4,求b,c的值. 解：(1)因为cosB>0, 且0<B<, 所以sinB√1-cos2B号， 由正弦定理得品品。， 所以sinA婆号 b (2)因为S△Bc-acsin B-4, 所以号×2×c×号=4， 所以c-5. 由余弦定理得 b2=a2+c2-2 accos B=22+52-2×2×5×=17, 所以b√17， 。方法总结 解三角形的一般方法： (1)已知两角和一边.如已知A,B和c,由A+B+C=元求C,由正弦定理求 a,b. (2)己知两边和这两边的夹角.如己知a,b和C,应先用余弦定理求c, 再应用正弦定理求较短边所对的角，然后利用A+B+C元求另一角， ·独家授权侵权必究· 品牌书店·知名教辅·正版资源 学科网书城 驱身边的互联网+教辅专家 (3)已知两边和其中一边的对角。如已知a，b和A，应先用正弦定理求 B，由A+B+C=π求C，再由正弦定理或余弦定理求c.要注意解可能有多 种情况。 (4)已知三边a，b，c.可应用余弦定理求A，B，C。 题型三三角形的面积问题 [典例3]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC +csinB。 (1)求B； (2)若b=2，求△ABC的面积的最大值。 解：(1)由已知，根据正弦定理得 sin A=sin Bcos Ctsin CsinB。 又A=π-(B+C)， 所以sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin BcosC+sinCcosB， 即sinBcosC+cosBsin C=sin Bcos C+sin Csin B， 所以cosBsinC=sin CsinB，因为sinC≠0， 所以cosB=sin B且B为三角形内角， 所以B=平。 (2)S_ΔΔx=zacsinB=4ac， 由正弦定理知a=端A直×sin A=2\sqrt{2}sinA， 同理，c=2/2sinC， 所以S_ΔwC_4^×2\sqrt{2}si