第19讲：圆锥曲线中的阿基米德三角形-冲刺2023年高考数学压轴题——圆锥曲线专题全面复习讲义

酬回学科问原列精品，让你的学习土录起来！ PxKcoM学科网精品频道全力推荐． 第十九讲：阿基米德三角形 一种【学习目标】 基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，切线问题形成的阿基米德三角形的形成过 程； 应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的切线方程，对应的阿基米德三角形的相关性质及其证 明； 拓展目标：能够熟练阿基米德三角形的相关性质，解决实际应用问题等问题。 素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生 的数学运算和数学抽象的核心素养． 基础知识】 如图所示，AB为抛物线x^2=2py(p>0)的弦，4(x1，3)，B(x，32)，分别过A，B作的抛物线的切线交 于点P，称ΔPAB为阿基米德三角形，弦AB为阿基米德三角形的底边． 1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴． 2、若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C(x。﹐y。)，则另一顶点 Р的轨迹为一条直线． _ 3、若直线l与抛物线没有公共点，以1上的点为顶点的阿基米德三角形的底边 过定点． 4、底边长为c的阿基米能三角形的面积的最大值为_8 5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为p3 。点P的标从号号， 7、底边AB所在的直线方程为(x1+x_2)x-2p-x_x_3=0； 8、△PAB的面积为Szω-s 9、若点P的坐标为(x，y_0)，则底边AB的直线方程为x_px-p(y+y)=0﹒ 引原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学利回4种问压列品，让你的学习土录起单！ JP。zXXK。COM学科同精品频道全力推荐 10、如图，若E为抛物线弧AB上的动点，点E处的切线与PA，PB分别交于点C，D．则 cP=EDt=DB 11、若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在点E处的切线与阿基米德三角形 ΔPAB的边PA，PB分别交于点C，D，则=2 12、抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积 【考点剖析】 考点一：定点问题 例1、已知点A(0，-1)，B(0.)，动点P满足|PB∥λFA· Ba ．记点P的轨迹为曲线C (1)求C的方程， （2)设D为直线y=-2上的动点，过D作C的两条切线，切点分别是E，F．证明：直线EF过定点． 变式训练1：在平面直角坐标系xOy中，M为直线y=x-3上的动点，过点M作抛物线C：x^2=2y的两条 切线MA，MB，切点分别为A，B，N为AB的中点 数，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 令学利阿 学科网原制精品，让你的学司土豪起华！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 (1)证明：MN⊥x轴： (2)直线AB是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标：若不是，请说明理由. 变式训练2：在平面直角坐标系xOy中，M为直线y=x-2上一动点，过点M作抛物线C:x2=y的两条切 线MA,MB,切点分别为A,B,N为AB的中点. (1)证明：MW⊥x轴： (2)直线AB是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标：若不是，请说明理由. 变式训练3：已知曲线C:y=号，D为直线y=号上的动点，过D作C的两条切线，胡点分别为，及. (1)证明：直线AB过定点 ©。原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 令学利阿 学科网原制鞋品，社你的学司土豪起华！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 (2)若以E(0,为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程. 考点二：交点的轨迹 例1.已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F0,cc>0)到直线1：x-y-2=0的距离为Y5 2 (I)求抛物线C的方程； (Ⅱ)设点P(x,)为直线I上一动点，过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点， 求直线AB的方程，并证明直线AB过定点Q: ()过（Ⅱ）中的点Q的直线m交抛物线C于A,B两点，过点A,B分别作抛物线C的切线！，↓， 求(，交点M满足的轨迹方程。 变式训练1：己知动点Q在x轴上方，且到定点F(0,)的距离比到x轴的距离大1， (I)求动点Q的轨迹C的方程： (Ⅱ)过点PI,1)的直线I与曲线C交于A,B两点，点A,B分别异于原点O,在曲线C的A,B两点处 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利阿 学科网原制鞋品，社你的学司土豪起华！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 的切线分别为(，2且1，交于点M,求证：M在定直线上. 变式训练2：己知抛物线C.y=ax'(a>0)的焦点为F,直线x=2与x轴相交于点M,与曲线C相交于点 N,且AMNF等PN (1)求抛物线C的方程： (2)过抛物线C的焦点F的直线I交抛物线于P,Q两点，