第18讲：圆锥曲线中的蒙日圆-冲刺2023年高考数学压轴题——圆锥曲线专题全面复习讲义

令学利阿 学科网原制鞋品，社你的学司土豪起华！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 第十八讲：蒙日圆 【学习目标】 基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，切线即方程的推导过程； 应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的相切条件，熟练掌握交轨法得到的方程： 拓展目标：能够熟练应用切线问题，设而不求的思想，解决相关的蒙日圆问题， 素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生 的数学运算和数学抽象的核心素养 【基础知识】 蒙日圆：如下图所示，过点P作椭圆C:行+左=1(a>6>0)的两条切线，若这两条切线互相垂直，则点p 的轨迹是圆x2+y2=a2+b2,该圆即为蒙日圆. 蒙日圆的性质：如下图所示，延长PA、PB与蒙日圆分别交于点M、N,OP与AB交于点Q,则： (1)M、0、N三点共线： (2)MNO AB (3)kog"kupy kor kakkro (4)kos'kos-at' 拓展： 1、双曲线上 。京=a>b>0)的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆r2+少=02-62. 2、抛物线y2=2r的两条互相垂直的切线的交点在该抛物线的准线上. 【考点剖析】 考点一：蒙日圆方程 烟1小巴横C:号+芳=1a>b>0的-个直5.可，商心家为店 a+ 1 ,原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学剩回4种问压到品，让你的学习土录起单！ JP。zXXK。cOM学科同精品频道全力推荐 （1)求椭圆C的标准方程， (2）若动点P(x_0，y_0)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程 变式训练1、若动点P(s·)为横圆C1外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求成 P的轨迹方程． 变式训练2、设M是阴x^2+y^2=12上任意一点，由M引椭圆c的两条切线MA、MB．当两条 切线的斜率都存在时，证明：两条切线斜率的积为定值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 2 学利网 学科网原制鞋品，社你的学司土豪起华！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 变式训练3、过椭圆C:二+3少=1上的任意一点P,向圆0：x+y=r(0<r<b引两条切线、h.若 44 、2的斜率乘积恒为定值，求圆O的面积. 考点二：蒙日圆性质 ©原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 令学利阿 学科网原制鞋品，社你的学司土豪起华！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 例题1、给定椭圆C:。+2 五+万=1（a0.称圆心在原点0，半径为口P+方的圆为椭圆C的准 圆”.若椭圆C的一个焦点为F(√2，O),其短轴上的一个端点到F的距离为√3 (1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程： (2)若点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线，2交“准圆”于点M,N证明：⊥2，且 线段N的长为定值. 变式酒除1：已肉椭框C,号+卡=a>b0的张半维长为万，点Lg（e头C的宽心车)在 椭圆C上 (1)求椭圆C的标准方程： (2)如图，P为直线x=2上任一点，过点P椭圆C上点处的切线为 0 PA,PB,切点分别A,B,直线x=a与直线PA,PB分别交于M, N两点，点M,N的纵坐标分别为m,n,求mn的值. 变式训练2：已知抛物线E:x2=2py过点(1,1)，过抛物线E上一点P(x,y)作两直线PM,PN与圆C: 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利阿 学科网原制鞋品，社你的学司土豪起华！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 x2+(y-2=1相切，且分别交抛物线E于M、N两点. (1)求抛物线E的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)若直线N的斜率为√3，求点P的坐标. 变式训练3：给定园C号+芳=1Q>6>0,系假心在聚点，学径为、后厅的是断C的件 随圆”若椭圆C的一个焦点为F1(√2,0)，其短轴上的一个端点到F1的距离为√3 (1)求椭圆C的方程及其“伴随圆”方程： (2)若倾斜角45的直线1与椭圆C只有一个公共点，且与椭圆C的伴随圆相交于MN两点，求弦 MN的的长； (3)点P是椭圆C的伴随圆上一个动点，过点P作直线4、2，使得、五与椭圆C都只有一个公共 点，判断、2的位置关系，并说明理由 ⊙ 。原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学科回 学科网原制精品，让你的学司土豪起华！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 【当堂小结】 1、知识清单： (1)椭圆，双曲线，抛物线弦长公式： (2)蒙日圆方程的求解： (3)蒙日圆的相关性质及求解思路： 2、易错点：蒙日圆的形成分析及应用： 3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化： 4、核心素养：数学运算，数学抽象 【过关检测】 、过圆O:x2+2=4上任意一