第四章 强化提升专项13 巧用因式分解解决相关问题-【一本】2022-2023学年八年级下册数学同步PPT课件（北师大版）

初中同步训练 数 学 八年级下册 (BS版) 强化提升专项13 巧用因式分解解决相关问题 类型1　用于简便计算 1．用简便方法计算下列各式： (1)6.42－3.62；　　　　(2)2 0212－212. 解：(1)6.42－3.62＝(6.4＋3.6)×(6.4－3.6)＝10×2.8＝28. (2)2 0212－212＝(2 021＋21)×(2 021－21)＝2 042×2 000＝4 084 000. 2．计算：9 999×9 999＋19 999. 解：9 999×9 999＋19 999＝9 9992＋2×9 999＋1 ＝(9 999＋1)2＝10 0002＝108. 类型2　用整体代入法求值 3．若m－n＝－2，求多项式eq \f(m2＋n2,2)－mn的值． 解：∵m－n＝－2，∴eq \f(m2＋n2,2)－mn＝eq \f(m2＋n2－2mn,2)＝eq \f(（m－n）2,2)＝2. 类型3　用于判断整除 4．已知n是整数，则(2n＋1)2－1能被8整除吗？试说明你的结论． 解：(2n＋1)2－1＝(2n＋1＋1)(2n＋1－1)＝4n(n＋1)． ∵n是整数，∴n与n＋1是两个连续的整数，且n(n＋1)能被2整除， ∴4n(n＋1)能被8整除，即(2n＋1)2－1能被8整除． 类型4　用于判断三角形的形状 5．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状． 解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4， ∴a4－b4－a2c2＋b2c2＝0， ∴(a4－b4)－(a2c2－b2c2)＝0， ∴(a2＋b2)(a2－b2)－c2(a2－b2)＝0， ∴(a2＋b2－c2)(a2－b2)＝0， 解得a2＋b2＝c2或a＝b， ∴△ABC为直角三角形或等腰三角形． 类型5　用于比较大小 6．比较代数式3x3＋2x2－4x－3与3x3＋x2＋2x－12的大小． 解：3x3＋2x2－4x－3－(3x3＋x2＋2x－12)＝3x3＋2x2－4x－3－3x3－x2－2x＋12＝x2－6x＋9＝(x－3)2≥0， ∴3x3＋2x2－4x－3≥3x3＋x2＋2x－12. 类型6　用于探究规律 7．【阅读材料】 添项法是代数变形中非常重要的一种方法，在整式运算和因式分解中使用添项法往往会起到意想不到的作用，例如： 计算：(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)(332＋1)． 解：原式＝eq \f(1,2)(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)·(316＋1)(332＋1) ＝eq \f(1,2)(32－1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)·(316＋1)(332＋1) ＝eq \f(1,2)(34－1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)(332＋1) ＝… ＝eq \f(364－1,2). 【解决问题】 (1)计算： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,22))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,24))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,28)))…eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2512)))； (2)因式分解：x4＋x2＋1. 解：(1)原式＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,22))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,24)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,28)))…eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2512)))＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,21 024)))＝eq \f(21 024－1,21 023). (2)原式＝x4＋2x2＋1－x2＝(x2＋1)2－x2＝(x2＋1＋x)(x2＋1－x)． $