第16讲：圆锥曲线中的图形问题（四）-冲刺2023年高考数学压轴题——圆锥曲线专题全面复习讲义

第十六讲：图形问题4 【学习目标】 基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，特殊四边形的性质； 应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中四边形的几何特征，以及几何特征的代数转换； 拓展目标：能够熟练应用菱形，矩形，正方形的向量表示，并在平行四边形的基础上，增加相关的垂直的向量或斜率表示. 素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养. 【基础知识】 1、菱形 ①一组邻边相等的平行四边形，是菱形，即可以翻译成等腰三角形，三线合一进行计算. ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以翻译用向量或斜率表示的直角关系. 2、矩形 ①有一个角是直角的平行四边形，是矩形，即可以翻译成直角三角形，用向量和斜率进行直角关系的表示. ②对角线相等的平行四边形，是矩形，即可以翻译成两条弦长相等，利用弦长公式求解. 3、正方形 即满足菱形的要求，又满足矩形的要求进行求解. 【考点剖析】 考点一：菱形 例1．已知椭圆C：，，，，这四点中恰有三点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)点E是椭圆C上的一个动点，求面积的最大值； (3)过的直线l交椭圆C于A、B两点，设直线l的斜率，在x轴上是否存在一点，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. 变式训练1．设椭圆：的左、右焦点分别为，，椭圆的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到菱形面积为. （1）求椭圆的方程； （2）过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于、两点，在轴上是否存在点使得以，为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围，如果不存在，说明理由. 变式训练2．已知抛物线：的顶点为O，焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于点A、B，且． (1)求抛物线的标准方程； (2)过抛物线上一点P（非原点）作抛物线的切线，与x轴、y轴分别交于点M、N，，垂足为H，求证：四边形PFNH为菱形， 变式训练3．在平面直角坐标系中，双曲线的左、右两个焦点为、，动点P满足． (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)设过且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹E于A、B两点，问：线段上是否存在一点D，使得以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形？若存在，请给出证明：若不存在，请说明理由． 考点二：矩形 例1．从抛物线C：（）外一点作该抛物线的两条切线PA、PB（切点分别为A、B），分别与x轴相交于C、D，若AB与y轴相交于点Q，点在抛物线C上，且（F为抛物线的焦点）. （1）求抛物线C的方程； （2）①求证：四边形是平行四边形. ②四边形能否为矩形？若能，求出点Q的坐标；若不能，请说明理由. 变式训练1．已知抛物线，为坐标原点，过焦点的直线与抛物线交于不同两点. (1)记和的面积分别为，若，求直线的方程； (2)判断在轴上是否存在点，使得四边形为矩形，并说明理由. 变式训练2．已知抛物线，过点的动直线与相交于两点，抛物线在点和点处的切线相交于点，直线与轴分别相交于点. （1）写出抛物线的焦点坐标和准线方程； （2）求证：点在直线上； （3）判断是否存在点，使得四边形为矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 变式训练3．已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C的上顶点，且，． (1)求椭圆C的方程； (2)已知，其中O为坐标原点，过点D的直线与椭圆C交于E，G两点，点H在椭圆C上，探究：是否存在直线，使得四边形OEHG为矩形，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 考点三：正方形 例1．已知点是椭圆E：一点，且椭圆的离心率为. (1)求此椭圆E方程； (2)设椭圆的左顶点为A，过点A向上作一射线交椭圆E于点B，以AB为边作矩形ABCD，使得对边CD经过椭圆中心O. （i）求矩形ABCD面积的最大值； （ii）问：矩形ABCD能否为正方形？若能，求出直线AB的方程；若不能，请说明理由. 变式训练1．已知椭圆：（）的左顶点为，上顶点为，直线的斜率为，坐标原点到直线的距离为. (1)求椭圆的方程； (2)已知正方形的顶点、在椭圆上，顶点、在直线上，求该正方形的面积. 变式训练2．已知椭圆过点，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于、两点，以为对角线作正方形，记直线与轴的交点为，问、两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由． 变式训练3．已知A，B，C是抛物线W：上的三个点，D是x轴上一点. （1）当点B是W的顶点，且四边形ABCD为正方形时，求此正方形的面积； （2）当点B不是W的顶点时，判断四边形ABCD是否可能为正方形，并说明理由. 【当堂小结】 1、知识清单： （1）椭圆，双曲线，抛物线简单性质； （2）圆锥曲线中，特殊四边形翻译，即菱形，