第13讲：圆锥曲线中的图形问题（一）-冲刺2023年高考数学压轴题——圆锥曲线专题全面复习讲义

第十三讲：图形问题1 【学习目标】 基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，特殊三角形的性质； 应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中三角形的几何特征，以及几何特征的代数转换； 拓展目标：能够熟练应用等腰三角形，等边三角形三线合一垂直的应用，直角三角形，角度的向量表示. 素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养. 【基础知识】 1、等腰三角形 取底边中点，利用中线与底边垂直，从几何特征转化为代数计算（三线合一） 2、等边三角形 取其中一边中点，利用中线与这条边垂直，从几何特征转化为代数计算（三线合一） 3、直角三角形 邻边垂直，利用向量进行代数的计算，即向量的数量积为（斜率相乘等于） 【考点剖析】 考点一：等腰三角形 例1．已知椭圆的离心率为，右焦点为. (1)求椭圆的方程； (2)斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.求直线的方程. 变式训练1：已知椭圆的离心率为，右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为. （1）求椭圆的方程； （2）求的面积. 变式训练2：已知点在椭圆上，椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设，，，是椭圆上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点，直线与直线交于点.证明：是等腰三角形. 变式训练3：圆：与轴的两个交点分别为，，点为圆上一动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足 (1)求点的轨迹方程； (2)设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，直线与交于点，试问：是否存在一个定点，当变化时，为等腰三角形 考点二：等边三角形 例1．已知椭圆C：（）的右顶点为，且为其上一点. (1)求椭圆C的方程及离心率； (2)B是椭圆C上异于左右顶点的一点，线段的中垂线交y轴于点D，且为等边三角形，求B点横坐标. 变式训练1：已知椭圆：（）过点，过右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于、两点，且，为坐标原点． (1)求椭圆C的方程； (2)若过原点的直线与椭圆C交于、两点，且在直线：上存在点，使得为等边三角形，求直线的方程． 变式训练2：已知椭圆的左顶点A与上顶点B的距离为. (1)求椭圆C的方程和焦点的坐标； (2)点P在椭圆C上，且P点不在x轴上，线段的垂直平分线与y轴相交于点Q，若为等边三角形，求点的P横坐标. 变式训练3：已知分别是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上的一点，且的面积为1. (1)求椭圆的短轴长； (2)过原点的直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的一点，若为等边三角形，求的取值范围. 考点三：直角三角形 例1．已知椭圆C：（）的左，右焦点分别为，，上，下顶点分别为A，B，四边形的面积和周长分别为2和. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l：（）与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中垂线交y轴于M点，且为直角三角形，求直线l的方程. 变式训练1：设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于、两点，过作的平行线交于点，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过坐标原点的直线交曲线于、两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交曲线于点.证明：是直角三角形. 变式训练2：已知椭圆E：的离心率为，P为椭圆E上一点，Q为圆上一点，的最大值为3（P，Q异于椭圆E的上下顶点）. (1)求椭圆E的方程； (2)A为椭圆E的下顶点，直线AP，AQ的科率分别记为，，且，求证：APQ为直角三角形. 变式训练3：已知点A(-2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为．记M的轨迹为曲线C． (1)求C的方程，并说明C是什么曲线； (2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G．证明△PQG是直角三角形． 【当堂小结】 1、知识清单： （1）椭圆，双曲线，抛物线简单性质； （2）椭圆中的图形，等腰三角形，等边三角形，直角三角形的翻译； 2、易错点：圆锥曲线性质的简单计算，特殊图形的翻译； 3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化； 4、核心素养：数学运算，数学抽象. 【过关检测】 1．已知椭圆的一个顶点为，且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于两点，且，求的值. 2．已知抛物线的准线方程为． (1)求C的方程； (2)直线与C交于A，B两点，在C上是否存在点Q，使得直线QA，QB分别与y轴交于M，N两点，且？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 3．已知椭圆的右焦点为，，为上不同的两点，且，． (1)证明：，，成等差数列； (2)试问：轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知椭圆，左焦点为，上顶点为，直线BF与椭圆交于另一点Q，且，且点在椭圆上. (1)求椭圆C