第二章 函数 单元知识整合-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

第二章〉函数儿 单元知识整合 一、微专题妙总结 内洒啊释识胎汇·方法总结 微专题1 几种常见函数及其应用 x2-2x,x>0. ∴.f(x)= 0,x=0, 1.分段函数 对分段函数要注意把握以下问题的处理 -x2-2x,x<0. 方法： (2)存在.理由如下： 假设存在满足题意的a,b(a<b),且a≥0， (1)分段函数的画图、求分段函数的单调 b≥0. 区间、求分段函数的值域或最值、求分段函数 的解析式等，这些问题的解法均可用四个字概 由(1)可知，当x0时，f(x)≥一1. 括——分段处理 故-b≥-1，即b≤1，故f(x)在[a,b]上 四 单调递减， (2)分段函数的求值、分段函数的奇偶性 判断，要严格按分段函数的含义及奇偶性的定 f(a)=-a, 从而有 义来处理 f(b)=-b. 解得a=0或a=1(舍去)，b=1或b=0 (3)涉及分段函数的综合问题要灵活把 握，注意与有关知识的结合 (舍去) 故存在a=0,b=1满足题意. (4)含绝对值的函数，实质上是“压缩”后 2.“双曲”函数 的分段函数，解决含绝对值的函数问题的基本 方法是将其“解压”成分段函数来处理。 形如y一身c≠0a≠0)的函数，通过 ⊙例题面已知函数f(x)是定义在R上 分离常数可转化成y=m十1(1≠0)的形 的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2一2x x十n (I)求函数f(x)在R上的解析式， 式，故它的图象可由反比例函数y=(1≠0) (2)是否存在非负实数a,b(a<b),使得当 的图象通过平移得到，其形状与反比例函数 x∈[a,b们时，函数f(x)的值域为[-b,一a]? 若存在，求出所有a,b的值；若不存在，请说明 y=(1≠0)的图象一样，都是双曲线.故常称 理由。 其为“双曲”函数.其对称中心是（一，m),定义 解祈(1)设x<0,则一x>0, 域为{xx≠一n},值域为{yy≠m. .f(-x)=x2+2.x 当t>0时，函数在（一∞，一n)和（一1， 由f(x)为定义在R上的奇函数， 十∞)上单调递减： 得f(x)=-f(-x)=-x2-2.x, 当t<0时，函数在（一∞，一n)和（一n, 且f(0)=0, 十o∞)上单调递增. 135 考点同步解读》】高中效学必修第一册BSL乡 @题卫画出函数y号的图象，写 这个函数的图象形 f=ax- 如两个对勾，因此，我们 (x)=ax 出函数的单调区间，并求出函数在区间[一1， 称它为“对勾”函数，利用 a 2]上的值域， 这个函数我们可以解决 解析 y= 3-2x=(6-2x)-3=-2 x一3 x-3 一些函数的单调性、最值 3 与值域等问题， x-3 ⊙例题(2022，襄阳四中月考)求下列 第 设)=则=一3》-2 函数的值域： 根据平移变换的规则可知，将函数f(x) (1)y=2+5 √x2+4 第二章 3的图象先向右平移3个单位长度，再向下 x (2y=x+x+2x≥2) 平移2个单位长度， 三章 即得函数y=3一的图 器(1)y=牛)中-开+ 2+4 x-3 1 第四章 象，如图. 1213 V2+4' 由图象可知，其单调递增 区间是(-∞，3)和(3，十∞). 令VT+4,则≥2，则y=t+】 第五章 由于函数在[一1,2]上单调递增， 图象如图 2 禁 且yx--1= 4y=2=1, “y1什号在[2，+四)上 单调递增， 第 所以其值是[一，1 3.“对勾”函数 22+- 模 我们常见到形如f(x)=a.x十(a>0,b> 故所求画数的值城为[号，十∞ 0)的函数，下面我们来探究它的单调性、奇偶 (2)y= x+2+1 (x>≥2)， 性及图象的形状. (1)不难看出它的奇偶性，因为函数的定 令f()=r+2(x≥2. 义域为（一∞，0）U(0,+∞)，且有f(一x)= 则f(x)在[2，十o∞)上单调递增. ax- b=一f(x),所以f(x)为奇函数 .f(x)≥f(2)=3. 2)函数✉在(-√0)和√2)上 < x+2+ 4,且y>0. 单调递减：在(-，-√2)和(、臣十)上 故所求函数的位城为0， 单调递增。 名师点评(1)利用“对勾”函数的性质解决 (3)图象如图. 问题时，要注意以下两点：一是要记准单调区 1136 第二章〉函小 间的端，点值及区间的增减性：二是要注意对函 f(2)=1,.f(4)=2. 数解析式的转化，并注意转化后函数的定 又由(1)(2)知函数f(x)是偶函数且在(0， 义城 4]上单调递增， (2)画“对勾”函数图象的关键是找出两个 .函数f(x)在区间[一4,0)U(0,4]上的 “顶点”，其方法是令前后两个式子相等，先求 最大值为f(4)=f(-4)=2. 出x的值，然后求得相应的y值 (4)f(3.x-2)+f(x