1.3.2 基本不等式-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（北师大版2019）

第一章〉预务知识小 3.2基本不等式 高考要求学业标准·考情分祈 ·考点分布 4 学科素养· 学法导引 1.了解算术平均数、几何平均数的概念，理解基 1.应用基本不等式解决有关 本不等式的代数证法和几何证法，（★★★） 问题时，必须紧扣它的适用条件， 否则就会得出错误的结论。 2.熟练地掌握基本不等式及其变形形式，并能 2.要善于活用基本不等式，也 熟练地运用基本不等式来比较两个实数的大 数学运算 就是不仅要善于“正用”“逆用”，更 小，求某些函数的最大（小）值、证明简单的不 逻辑推理 要善于“变形用” 等式.（★★★★） 数学建模 3.要善于应用基本不等式解 3.通过应用基本不等式解决有关实际问题，进 决比较大小，求最值、证明不等式 一步提高运用数学知识分析和解决实际问题 等问题，提炼、归纳、总结解题规 律和方法，并熟练掌握。 第 的能力.（★★） 考点分类考点透析·典例剑祈 考点1 基本不等式 核心总结。 章难点突破… 1.重要不等式：如果a,b∈R,那么 基本不等式的证明 第 a2+仔>2ab(当且仅当a=b时，等号成立). 1.代数法 七 2.对重要不等式a+b≥2ab(a,b∈R)的理解 方法-当a≥0，b≥0 (1)不等式中的a,b既可以是某个具体的实数，也可以是 时，安-v6=a+ 一个代数式 (2)“当且仅当”的含义：①当a=b时，取等号，即a=b→ 0-2a6]=a a2+?=2ab:②仅当a=b时，取等号，即a2+仔=2ab→u=b. vb)≥0，当且仅当a=B,即 3.基本不等式：如果a≥0，b>0,那么 a=b时，等号成立. a士>vad(当且仅当a=6时，等号成立). 方法二当a≥0.b≥0 其中，士称为a,6的算术平均值v历称为u,b的几何 时，要注生>√瓜，只要证 a+b≥2vab.只要证a+b 平均值.因此，基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为： 2ab0,只要证a6)≥0. 两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值。 显然，最后一个不等式成 4.应用基本不等式时，应注意它的变形不等式的灵活运 立，所以中≥a而成立，当 用，常用的变形不等式如下(a,b∈R4): 2 且仅当Va=石，即a=b时，等 55 考点同步解读〉高中效学必修第一册BSLD色 号成立 (1)ab≤ a+b 2. a 2.几何法 2 如图，AB是圆的直径，点 (3) 111≤va≤a+b 2 @牛E(当且仅当a=b时，等 V 2 C是AB上一点，AC=, b BC=b.过点C作垂直于AB 号成立) 的弦DE,连接AD,BD,利用 ⊙考题司(2022，北京海淀区高三一模)设0<a<b,则下列 这个图形可以得出基本不等 不等式中正确的是( 式生>√西的几何解华。 第 A.a<bK√ab<a+b 2 B.a</ab<a3b<b D 2 第二章 C.a<Vab<b<a 2 D.ab<a<a时中<b 2 第 解祈方法一 0<a<,a<“空<b,排除A.C E 易证Rt△ACDORt△DCB. 又√ab-a=a(wb-√a)>0,即√ab>a,排除D.故选B 那么CD=CA·CB,即CD= 第四章 方法二取a=2,b=8,则√a而=4.4=5，所以a<√ab< √ad. 2 这个圆的半径为“中，显 第五章 气 <b. 答案B 然，它大于成等于①即学 第六童 ⊙变式11(2022，长沙调考)设4，b是正实数，且a十b=4, √ab,当且仅当，点C与圆心重 则有( 合，即当a=b时，等号成立. 第 A品号 因光基本不等式宁 Daio-i √ab的几何意义是“半径不 C.√ab≥2 小于半弦” 块 ⊙考题2(2022，南昌高三联考)已知a>0,b>0,则A= a2+ ,B么、=6·D—1,1的 的大小顺序为 山规律总绍… 1.若问题中一端为“和 解：a>0.6>0,aa(当且仅当a=b时，取等号). 式”，而另一端为“积式”，这便 2 是应用基本不等式求解的“题 又 a2+b2 a+b a2+ (a十b) 眼”，不妨试试运用基本不等 2 2 2 4 式，看能否解决问题 2a2+2b a2+b+2ab 2.在应用基本不等式解 4 题时，还应注意不等式性质的 而a2+≥2ab>0, ∴.2a2+2b>≥a2+b+2ab>0. 运用，如考题2中便运用了性 ∴.v√2a2+2br≥√a2++2ab. 2 质若a≥6>0.则公 156 /第一章>设备知识] 当a=b时，取等号)。3.应用基本不等式比较 大小，关键在于构建两个数的 又∵a+b且a>0.b>0，a+b≥2\sqrt{ab}、“和”与“积”，再利用基本不等 式得到它们之间的大小关系。 ∴<，+b2a÷2%=\sqrt{b}， 即\sqrt{ab}>_a+b(当且仅当a=b时取等